Fiche de révision : Travail et énergie mécanique

📋 Plan du Cours

1. Travail et puissance d’une force
2. Forces conservatives et énergie potentielle
3. Théorèmes énergétiques
4. Mouvement dans un potentiel unidimensionnel
5. Équilibre et stabilité
6. Oscillateur harmonique sans frottement
7. Petites oscillations autour d’un équilibre

📖 1. Travail et puissance d’une force

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail élémentaire d’une force est $\delta W=\vec F\cdot d\vec r=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz$.

📐 Formule - Le travail d’une force entre A et B est $W_{A\to B}=\int_A^B\vec F\cdot d\vec r$.

• Le travail du poids entre deux altitudes dépend uniquement de la variation d’altitude et vaut $W(P)=-mg(z_B-z_A)$.

Compléments

📐 Formule - La puissance instantanée d’une force est $\mathcal P=\frac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$.

• Sur un déplacement horizontal, le travail du poids est nul.

• La réaction normale d’un support fixe ne travaille pas lorsque le déplacement est tangent au support.

📖 2. Forces conservatives et énergie potentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : Force dont le travail ne dépend pas du trajet suivi.

★ À maîtriser

📐 Formule - À toute force conservative est associée une énergie potentielle telle que $\delta W=-dE_p$.

📐 Formule - L’énergie potentielle de pesanteur dans un champ uniforme vaut $E_{pp}=mgz+C$, où C dépend du choix de référence.

📐 Formule - Pour un ressort de raideur k et d’allongement $x=l-l_0$, l’énergie potentielle élastique vaut $E_{pe}=\frac12kx^2+C$.

Compléments

📐 Formule - Pour une force conservative en une dimension, $F_x=-\frac{dE_p}{dx}$.

• Lorsque l’origine de l’énergie potentielle élastique est choisie à l’équilibre du ressort, $E_{pe}=0$ pour $x=0$ et $C=0$.

📖 3. Théorèmes énergétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : Somme de l’énergie cinétique et des énergies potentielles du système, soit $E_m=E_c+E_p$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\Delta E_c=\sum_i W(\vec F_i)$, la somme portant sur toutes les forces.

📐 Formule - La variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives, $\Delta E_m=\sum W(\vec F_{nc})$.

Compléments

📐 Formule - L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m et de vitesse v vaut $E_c=\frac12mv^2$.

📌 Si aucune force non conservative ne travaille, l’énergie mécanique est constante : $\Delta E_m=0$.

📖 4. Mouvement dans un potentiel unidimensionnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Point de retournement : Position limite accessible où l’énergie cinétique est nulle et où $E_p=E_m$.

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement conservatif à un degré de liberté, les positions accessibles vérifient $E_p(x)\leq E_m$, car $E_c=E_m-E_p\geq0$.

Compléments

📌 Une trajectoire est bornée si les positions accessibles sont limitées par deux abscisses ; elle est non bornée si toutes les abscisses considérées sont accessibles.

• Les valeurs de l’énergie potentielle accessibles au mouvement forment un puits de potentiel, dont le fond correspond à l’énergie potentielle d’équilibre.

💡 Astuce mémo

Un mobile enfermé dans un puits de potentiel rebondit entre ses points de retournement.

📖 5. Équilibre et stabilité

★ À maîtriser

📌 Une position d’équilibre correspond à un extremum de l’énergie potentielle, où $\frac{dE_p}{dx}=0$.

📌 Un minimum d’énergie potentielle correspond à un équilibre stable, tandis qu’un maximum correspond à un équilibre instable.

Compléments

📐 Formule - La force conservative en une dimension est liée à l’énergie potentielle par $F_x=-\frac{dE_p}{dx}$.

💡 Astuce mémo

Un minimum de potentiel stabilise ; un maximum déstabilise.

📖 6. Oscillateur harmonique sans frottement

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un ressort idéal sans frottement, la force de rappel vaut $F_x=-kx$ lorsque x est l’allongement mesuré depuis l’équilibre.

📐 Formule - La pulsation propre de l’oscillateur masse-ressort vaut $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

📐 Formule - La position d’un oscillateur harmonique s’écrit $x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$, où A et B sont déterminés par les conditions initiales.

Compléments

📐 Formule - La période propre de l’oscillateur masse-ressort vaut $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$.

📐 Formule - Pour un oscillateur masse-ressort sans frottement, l’énergie mécanique constante est $E_m=E_c+E_{pe}=\frac12kA^2$ si A est l’amplitude.

• Au cours des oscillations sans frottement, l’énergie se transfère continuellement entre les formes cinétique et potentielle.

💡 Astuce mémo

Aux extrémités, l’énergie est potentielle ; au passage par l’équilibre, elle est cinétique.

📖 7. Petites oscillations autour d’un équilibre

★ À maîtriser

📐 Formule - Au voisinage d’une position d’équilibre stable x_eq, l’énergie potentielle se développe à l’ordre deux comme $E_p(x)\simeq E_p(x_{eq})+\frac12E_p''(x_{eq})(x-x_{eq})^2$, à une constante près.

• Tout oscillateur peut être modélisé comme un oscillateur harmonique au voisinage d’une position d’équilibre stable, dans l’approximation des petites oscillations.

Compléments

📐 Formule - En posant $X=x-x_{eq}$ et $k_{eff}=E_p''(x_{eq})$, l’énergie potentielle près d’un équilibre stable s’écrit $E_p\simeq\frac12k_{eff}X^2+C$.