QCM : Travail et énergie mécanique (8 questions)

Question 1

1. Une force constante agit pendant un déplacement élémentaire de composantes $dx,dy,dz$ . Concernant le travail de cette force :

Les composantes de la force multiplient respectivement

dy,dz,dx

dans le travail élémentaire.

Le travail entre les points s’obtient en intégrant la norme de la force seule.

Entre deux points, le travail s’exprime par l’intégrale curviligne de la force.

Le travail élémentaire s’obtient par le produit scalaire de la force et du déplacement.

La composante selon

x

contribue au travail par le terme

F_x/dx

.

Explication

Le travail élémentaire est $\delta W=\vec F\cdot d\vec r$ , et le travail entre deux points est $\int_A^B\vec F\cdot d\vec r$ . La contribution selon $x$ est $F_xdx$ , non $F_x/dx$ ; l’intégrande est un produit scalaire, et les composantes s’associent à leurs déplacements de même axe.

Answer

Entre deux points, le travail s’exprime par l’intégrale curviligne de la force. · Le travail élémentaire s’obtient par le produit scalaire de la force et du déplacement.

Question 2

2. Une caisse se déplace horizontalement sur un sol plan fixe. Concernant le travail du poids et celui de la réaction normale :

La réaction normale fournit un travail positif lors d’un déplacement tangent au support.

Le travail du poids est positif, car la caisse avance dans le sens horizontal.

Le travail du poids est nul puisque le déplacement ne comporte pas de variation d’altitude.

La réaction normale ne travaille pas lorsque le déplacement est tangent au support fixe.

Le travail du poids dépend de la distance horizontale parcourue par la caisse.

Explication

Le poids est vertical et le déplacement horizontal, donc son travail est nul. La réaction normale est perpendiculaire au déplacement tangent au support fixe et ne travaille pas. Le mouvement horizontal ne rend pas le poids moteur et ne crée aucune dépendance du travail à la distance horizontale.

Answer

Le travail du poids est nul puisque le déplacement ne comporte pas de variation d’altitude. · La réaction normale ne travaille pas lorsque le déplacement est tangent au support fixe.

Question 3

3. Dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe vertical $z$ est orienté vers le haut. Quelles propositions décrivent l’énergie potentielle et la force conservative en une dimension ?

L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit

E_{pp}=mgz+C

, où la constante dépend du niveau de référence.

La composante de force conservative vaut

F_x=\frac{dE_p}{dx}

en une dimension.

L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit

E_{pp}=-mgz+C

dans ce champ uniforme.

Pour une force conservative en une dimension,

F_x=-\frac{dE_p}{dx}

.

Quand l’altitude augmente, l’énergie potentielle de pesanteur augmente selon cette convention.

Explication

Dans un champ uniforme, $E_{pp}=mgz+C$ ; le choix de référence détermine $C$ , et l’énergie augmente avec $z$ . En une dimension, la force conservative est l’opposé de la dérivée de l’énergie potentielle. Les deux expressions proposées avec un signe incorrect contredisent ces relations.

Answer

L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit $$E_{pp}=mgz+C$$, où la constante dépend du niveau de référence. · Pour une force conservative en une dimension, $$F_x=-\frac{dE_p}{dx}$$. · Quand l’altitude augmente, l’énergie potentielle de pesanteur augmente selon cette convention.

Question 4

4. Un ressort de raideur $k=200\,\text{N·m}^{-1}$ est allongé de $0{,}10\,\text{m}$ par rapport à sa longueur à vide. Concernant son énergie potentielle élastique, quelles propositions sont exactes ?

L’énergie potentielle élastique s’écrit

E_{pe}=kx^2+C

pour un ressort de raideur

k

.

Lorsque l’origine est choisie à l’équilibre du ressort, la constante additive vaut

C=1{,}0\,\text{J}

.

L’énergie potentielle élastique s’écrit

E_{pe}=\frac12kx^2+C

, avec une constante additive.

L’énergie potentielle élastique s’écrit

E_{pe}=\frac12kx+C

pour un allongement

x

.

La partie quadratique de l’énergie potentielle élastique vaut

1{,}0\,\text{J}

pour cet allongement.

Explication

Pour cet allongement, la partie quadratique vaut $\frac12\times200\times(0{,}10)^2=1{,}0\,\text{J}$ . L’énergie potentielle élastique s’écrit $E_{pe}=\frac12kx^2+C$ . Si son origine est choisie à l’équilibre du ressort, alors $C=0$ ; la valeur proposée pour la constante additive dans cette condition est donc incorrecte.

Answer

L’énergie potentielle élastique s’écrit $$E_{pe}=\frac12kx^2+C$$, avec une constante additive. · La partie quadratique de l’énergie potentielle élastique vaut $$1{,}0\,\text{J}$$ pour cet allongement.

Question 5

5. Un point matériel de masse $2\,\text{kg}$ passe de $3\,\text{m·s}^{-1}$ à $5\,\text{m·s}^{-1}$ sous l’action de plusieurs forces. Parmi les propositions suivantes concernant les théorèmes énergétiques, lesquelles sont exactes ?

À la vitesse finale, l’énergie cinétique du point matériel vaut

25\,\text{J}

.

Le théorème de l’énergie cinétique ne comptabilise que les travaux des forces non conservatives.

La variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces.

À la vitesse initiale, l’énergie cinétique du point matériel vaut

9\,\text{J}

.

La variation d’énergie mécanique est égale à la somme des seuls travaux des forces conservatives.

Explication

Le théorème de l’énergie cinétique inclut toutes les forces. Avec $E_c=\frac12mv^2$ , on obtient $E_{c,f}=\frac12\times2\times5^2=25\,\text{J}$ et $E_{c,i}=\frac12\times2\times3^2=9\,\text{J}$ . La variation d’énergie mécanique est liée aux travaux des forces non conservatives, et non à ceux des seules forces conservatives.

Answer

À la vitesse finale, l’énergie cinétique du point matériel vaut $$25\,\text{J}$$. · La variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces. · À la vitesse initiale, l’énergie cinétique du point matériel vaut $$9\,\text{J}$$.

Question 6

6. Un profil d’énergie potentielle présente un maximum local en $x=a$ et un minimum local en $x=b$ . Concernant les équilibres correspondants :

L’équilibre situé au maximum local en

x=a

est stable.

En

x=a

, la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à

x

est nulle.

En

x=b

, la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à

x

est nulle.

L’équilibre associé au minimum situé en

x=b

est stable.

En

x=a

, l’énergie potentielle présente un minimum local.

Explication

Un extremum de l’énergie potentielle satisfait $\frac{dE_p}{dx}=0$ , aussi bien au maximum en $a$ qu’au minimum en $b$ . Le minimum en $b$ correspond à un équilibre stable, tandis que le maximum en $a$ correspond à un équilibre instable. En $a$ , l’énergie potentielle présente donc un maximum local et non un minimum.

Answer

En $$x=a$$, la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à $$x$$ est nulle. · En $$x=b$$, la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à $$x$$ est nulle. · L’équilibre associé au minimum situé en $$x=b$$ est stable.

Question 7

7. Un oscillateur masse-ressort sans frottement possède une masse de 2 kg et une raideur de 18 N·m⁻¹. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour un allongement positif, l’énergie potentielle élastique est négative.

Sa pulsation propre vaut 3 rad·s⁻¹.

Pour un allongement positif, l’énergie potentielle élastique est proportionnelle à l’allongement.

Pour un allongement positif, la force de rappel est dirigée dans le sens de cet allongement.

La force de rappel vaut

F_x=18x

lorsque

x

est l’allongement.

Explication

La pulsation propre vaut $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=3$ rad·s⁻¹. Pour un ressort idéal, la force de rappel est opposée à l’allongement et s’écrit $F_x=-18x$ . L’énergie potentielle élastique est positive et proportionnelle au carré de l’allongement, et non négative ou proportionnelle à l’allongement.

Answer

Sa pulsation propre vaut 3 rad·s⁻¹.

Question 8

8. Un oscillateur harmonique sans frottement est décrit par ses conditions initiales et sa pulsation propre. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La solution générale s’écrit

x(t)=A\sin(\omega_0t)+B\cos(2\omega_0t)

avec deux constantes initiales.

Sa position peut s’écrire

x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)

avec deux constantes initiales.

Pour une pulsation propre de

4\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

, sa période propre vaut

0{,}5\,\mathrm{s}

.

Une pulsation propre de

2\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

correspond à une période propre de

1\,\mathrm{s}

.

Les coefficients

A

et

B

de la solution sont fixés par les conditions initiales du mouvement.

Explication

La solution générale associe sinus et cosinus de pulsation $\omega_0$ , et ses coefficients sont déterminés par les conditions initiales. Comme $T_0=2\pi/\omega_0$ , les pulsations $4\pi$ et $2\pi$ donnent respectivement $0{,}5\,\mathrm{s}$ et $1\,\mathrm{s}$ ; le terme à $2\omega_0$ proposé ne convient pas.

Answer

Sa position peut s’écrire $$x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$$ avec deux constantes initiales. · Pour une pulsation propre de $$4\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$, sa période propre vaut $$0{,}5\,\mathrm{s}$$. · Une pulsation propre de $$2\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ correspond à une période propre de $$1\,\mathrm{s}$$. · Les coefficients $$A$$ et $$B$$ de la solution sont fixés par les conditions initiales du mouvement.

QCM : Travail et énergie mécanique (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une force constante agit pendant un déplacement élémentaire de composantes $dx,dy,dz$ . Concernant le travail de cette force :

2. Une caisse se déplace horizontalement sur un sol plan fixe. Concernant le travail du poids et celui de la réaction normale :

3. Dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe vertical $z$ est orienté vers le haut. Quelles propositions décrivent l’énergie potentielle et la force conservative en une dimension ?

4. Un ressort de raideur $k=200\,\text{N·m}^{-1}$ est allongé de $0{,}10\,\text{m}$ par rapport à sa longueur à vide. Concernant son énergie potentielle élastique, quelles propositions sont exactes ?

5. Un point matériel de masse $2\,\text{kg}$ passe de $3\,\text{m·s}^{-1}$ à $5\,\text{m·s}^{-1}$ sous l’action de plusieurs forces. Parmi les propositions suivantes concernant les théorèmes énergétiques, lesquelles sont exactes ?

6. Un profil d’énergie potentielle présente un maximum local en $x=a$ et un minimum local en $x=b$ . Concernant les équilibres correspondants :

7. Un oscillateur masse-ressort sans frottement possède une masse de 2 kg et une raideur de 18 N·m⁻¹. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

8. Un oscillateur harmonique sans frottement est décrit par ses conditions initiales et sa pulsation propre. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

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QCM : Travail et énergie mécanique (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une force constante agit pendant un déplacement élémentaire de composantes dx,dy,dzdx,dy,dzdx,dy,dz. Concernant le travail de cette force :

2. Une caisse se déplace horizontalement sur un sol plan fixe. Concernant le travail du poids et celui de la réaction normale :

3. Dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe vertical zzz est orienté vers le haut. Quelles propositions décrivent l’énergie potentielle et la force conservative en une dimension ?

4. Un ressort de raideur k=200 N⋅m−1k=200\,\text{N·m}^{-1}k=200N⋅m−1 est allongé de 0,10 m0{,}10\,\text{m}0,10m par rapport à sa longueur à vide. Concernant son énergie potentielle élastique, quelles propositions sont exactes ?

5. Un point matériel de masse 2 kg2\,\text{kg}2kg passe de 3 m⋅s−13\,\text{m·s}^{-1}3m⋅s−1 à 5 m⋅s−15\,\text{m·s}^{-1}5m⋅s−1 sous l’action de plusieurs forces. Parmi les propositions suivantes concernant les théorèmes énergétiques, lesquelles sont exactes ?

6. Un profil d’énergie potentielle présente un maximum local en x=ax=ax=a et un minimum local en x=bx=bx=b. Concernant les équilibres correspondants :

7. Un oscillateur masse-ressort sans frottement possède une masse de 2 kg et une raideur de 18 N·m⁻¹. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

8. Un oscillateur harmonique sans frottement est décrit par ses conditions initiales et sa pulsation propre. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

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1. Une force constante agit pendant un déplacement élémentaire de composantes $dx,dy,dz$ . Concernant le travail de cette force :

3. Dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe vertical $z$ est orienté vers le haut. Quelles propositions décrivent l’énergie potentielle et la force conservative en une dimension ?

4. Un ressort de raideur $k=200\,\text{N·m}^{-1}$ est allongé de $0{,}10\,\text{m}$ par rapport à sa longueur à vide. Concernant son énergie potentielle élastique, quelles propositions sont exactes ?

5. Un point matériel de masse $2\,\text{kg}$ passe de $3\,\text{m·s}^{-1}$ à $5\,\text{m·s}^{-1}$ sous l’action de plusieurs forces. Parmi les propositions suivantes concernant les théorèmes énergétiques, lesquelles sont exactes ?

6. Un profil d’énergie potentielle présente un maximum local en $x=a$ et un minimum local en $x=b$ . Concernant les équilibres correspondants :