Fiche de révision : Suites et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Suites géométriques
3. Sommes géométriques
4. Nombre dérivé et tangente
5. Formules et règles de dérivation
6. Variations et fonctions composées

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Lorsque chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre constant appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout entier naturel n.

📌 Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que $u_{n+1}-u_n$ est constant, cette constante étant la raison r.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, $u_n=u_0+nr$ ; si le premier terme est u₁, $u_n=u_1+(n-1)r$.

Compléments

📌 La relation de récurrence exprime un terme en fonction du précédent, tandis que l’expression explicite exprime directement uₙ en fonction de n.

💡 Astuce mémo

Ajouter une raison constante → avancer régulièrement

📖 2. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : S’il existe un réel q tel que $u_{n+1}=q u_n$ pour tout entier naturel n.
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux nombres x et y est le nombre $\sqrt{xy}$.

★ À maîtriser

📌 Si tous les termes sont non nuls, une suite est géométrique de raison q si et seulement si $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ pour tout entier naturel n.

Compléments

📌 Trois nombres a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométrique de a et c.

💡 Astuce mémo

Multiplier par une raison constante → croissance ou décroissance proportionnelle

📖 3. Sommes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Si q≠1, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q≠1, $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• Pour une suite de premier terme u₀=16 et de raison 0,5, la somme de u₀ à u₁₀ vaut $S_{10}=16\frac{1-0{,}5^{11}}{1-0{,}5}\approx31{,}984$.

💡 Astuce mémo

Premier terme → raison → nombre de termes

📖 4. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en x₀ est la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, donnée par $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsqu’elle existe.
• Tangente : La position limite des sécantes passant par ce point lorsque h tend vers 0.

📝 Points essentiels

📌 Le nombre dérivé f′(x₀) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x₀.

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

💡 Astuce mémo

Une sécante qui se rapproche de la courbe devient la tangente

📖 5. Formules et règles de dérivation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $k'=0$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$.

📐 Formule — Si v ne s’annule pas, $\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ et $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📖 6. Variations et fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction composée applique successivement deux fonctions ou plus à la variable, comme f(x)=cos(3x+5), où l’on applique d’abord x↦3x+5 puis le cosinus.

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle, si f′ est nulle, f est constante ; si f′ est strictement positive, f est strictement croissante ; si f′ est strictement négative, f est strictement décroissante.

📐 Formule — Si f(x)=v(u(x)), alors $f'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$.

Compléments

📐 Formule — Pour f(x)=u(ax+b), $f'(x)=a\,u'(ax+b)$.

• Pour g(x)=(3x-7)^5, on obtient $g'(x)=15(3x-7)^4$.

• Pour i(x)=ln(3x^2+5), on obtient $i'(x)=\frac{6x}{3x^2+5}$.

💡 Astuce mémo

Dérivée extérieure → évaluation intérieure → multiplication par la dérivée intérieure

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques