Flashcards : Suites et raisonnement par récurrence — 34 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Réponse

Une suite où on ajoute toujours le même nombre r pour passer au terme suivant.

2Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Réponse

Une suite où on multiplie toujours par le même nombre q pour passer au terme suivant.

3Question

Quelle relation vérifie une suite arithmétique entre $u_{n+1}$ et $u_n$ ?

Réponse

$u_{n+1}=u_n+r$

4Question

Quelles sont les formes explicites d'une suite arithmétique ?

Réponse

$u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_1+(n-1)r$

5Question

Quelle relation vérifie une suite géométrique entre $u_{n+1}$ et $u_n$ ?

Réponse

$u_{n+1}=u_nq$

6Question

Quelles sont les formes explicites d'une suite géométrique ?

Réponse

$u_n=u_0q^n$ ou $u_n=u_1q^{n-1}$

7Question

Comment calcule-t-on la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

Réponse

$\frac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times n}{2}$

8Question

Quelle est la formule explicite de la suite arithmétique avec $u_0=11$ et $r=-3$ ?

Réponse

$u_n=11-3n$

9Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ?

Réponse

Une suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\ne0$ .

10Question

Quelle transformation applique-t-on pour rendre une suite arithmético-géométrique géométrique ?

Réponse

On pose une suite auxiliaire par translation.

11Question

Quelle est la raison de la suite géométrique auxiliaire dans l'exemple donné ?

Réponse

La raison est 1,02.

12Question

Quelle relation vérifie la suite auxiliaire $v_n$ dans l'exemple ?

Réponse

$v_{n+1}=1,02v_n$ .

13Question

Comment s'exprime $v_n$ dans l'exemple précédent ?

Réponse

$v_n=1510\times1,02^n$ .

14Question

Comment s'exprime $u_n$ dans l'exemple précédent ?

Réponse

$u_n=1510\times1,02^n-510$ .

15Question

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?

Réponse

Une méthode pour prouver une propriété vraie pour tous les entiers à partir d'une initialisation et d'une hérédité.

16Question

Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

Réponse

Vérifier la propriété au rang initial, supposer sa vérité au rang n, démontrer au rang n+1, puis conclure.

17Question

Quelle propriété la suite définie par $u_1=3$ et $u_{n+1}=0,9u_n+1,3$ vérifie-t-elle ?

Réponse

$u_n=13-\frac{100}{9}\times0,9^n$ pour tout $n\ge1$ .

18Question

Quelle formule peut-on démontrer par récurrence pour la somme des entiers ?

Réponse

$\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ pour tout entier $n\ge1$ .

19Question

Qu'impose $u_{n+1}\ge u_n$ pour une suite ?

Réponse

La suite est croissante.

20Question

Quand une suite est-elle décroissante ?

Réponse

Quand $u_{n+1}\le u_n$ pour tout n.

21Question

Qu'est-ce qu'une suite monotone ?

Réponse

Une suite qui ne change pas de sens de variation.

22Question

Quand une suite arithmétique est-elle strictement croissante ?

Réponse

Si et seulement si sa raison $r>0$ .

23Question

Quand une suite arithmétique est-elle constante ?

Réponse

Si et seulement si sa raison $r=0$ .

24Question

Quand la suite $q^n$ est-elle strictement décroissante ?

Réponse

Si $0<q<1$ .

25Question

Comment étudier les variations d'une suite ?

Réponse

En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou en comparant $u_{n+1}/u_n$ à 1 si les termes sont positifs.

26Question

Quelle est la variation de la suite $u_n=n^2-n$ ?

Réponse

Elle est croissante sur $\mathbb{N}$ car $u_{n+1}-u_n=2n\ge0$ .

27Question

Qu'impose l'existence d'un réel M pour une suite majorée ?

Réponse

Pour tout n, $u_n \le M$ .

28Question

Qu'est-ce qu'un majorant d'une suite ?

Réponse

Un réel M tel que $u_n \le M$ pour tout n.

29Question

Qu'impose l'existence d'un réel m pour une suite minorée ?

Réponse

Pour tout n, $u_n \ge m$ .

30Question

Qu'est-ce qu'un minorant d'une suite ?

Réponse

Un réel m tel que $u_n \ge m$ pour tout n.

31Question

Quand une suite est-elle bornée ?

Réponse

Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

32Question

Par quoi la suite $u_n = n^2$ est-elle minorée ?

Réponse

Par 0.

33Question

La suite $v_n = \frac{n+1}{n+2}$ est-elle bornée ?

Réponse

Oui, elle est bornée.

34Question

Quelles méthodes peut-on utiliser pour démontrer qu'une suite est bornée ?

Réponse

Utiliser un majorant ou minorant évident, étudier la fonction associée, le signe de la différence, ou la récurrence.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 16 questions sur Suites et raisonnement par récurrence.

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison $r$ ?

2. La suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$ est-elle arithmétique ou géométrique ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Suites et raisonnement par récurrence.

Voir la fiche →

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