QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 16 questions

Question 1

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison $r$ ?

On ajoute

r

pour passer d’un terme au suivant

On multiplie par

r

pour passer d’un terme au suivant

On multiplie par un nombre qui dépend du terme

On ajoute un nombre qui dépend du rang

Explication

Dans une suite arithmétique, l’écart entre deux termes consécutifs reste constant et vaut $r$ . La multiplication par une raison caractérise plutôt une suite géométrique.

Answer

On ajoute $$r$$ pour passer d’un terme au suivant

Question 2

2. La suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$ est-elle arithmétique ou géométrique ?

Elle est arithmétique de raison

3

Elle est arithmétique de raison

5

Elle est géométrique de raison

5

Elle est géométrique de raison

3

Explication

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $3$ , ce qui correspond à une suite géométrique de raison $3$ . Une suite arithmétique se construit par addition d’une constante.

Answer

Elle est géométrique de raison $$3$$

Question 3

3. Quelle expression donne directement le terme général d’une suite arithmétique connaissant $u_0$ et sa raison $r$ ?

u_n=u_0+(n-1)r

u_n=u_0+nr

u_{n+1}=u_n+r

u_n=u_0r^n

Explication

La formule $u_n=u_0+nr$ permet de calculer directement le terme de rang $n$ . La relation $u_{n+1}=u_n+r$ est une définition récurrente et nécessite le terme précédent.

Answer

$$u_n=u_0+nr$$

Question 4

4. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , quelle formule permet de calculer directement $u_n$ ?

u_n=u_1q^n

u_n=u_0q^{n-1}

u_n=u_0q^n

u_n=u_0+nq

Explication

Une suite géométrique s’obtient par multiplications successives par $q$ , d’où $u_n=u_0q^n$ . L’expression $u_0+nq$ correspond à une structure additive et non multiplicative.

Answer

$$u_n=u_0q^n$$

Question 5

5. Quelle relation définit une suite arithmético-géométrique ?

u_{n+1}=u_n+r

avec

r\ne0

u_{n+1}=a+bu_n

avec

b=0

u_{n+1}=qu_n

avec

q\ne0

u_{n+1}=au_n+b

avec

a\ne0

Explication

Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1}=au_n+b$ , avec un facteur multiplicatif et un terme ajouté. Une suite géométrique pure ne comporte pas le terme ajouté $b$ .

Answer

$$u_{n+1}=au_n+b$$ avec $$a\ne0$$

Question 6

6. Quelle démarche permet de transformer une suite arithmético-géométrique avec $a\ne1$ en suite géométrique ?

On effectue une translation à l’aide d’une suite auxiliaire

On applique directement la formule d’une suite arithmétique

On remplace le terme ajouté par une raison constante

On soustrait le rang à chaque terme de la suite

Explication

On choisit une translation et l’on définit une suite auxiliaire qui devient géométrique, avant de revenir à la suite initiale. La suite initiale conserve sa relation arithmético-géométrique.

Answer

On effectue une translation à l’aide d’une suite auxiliaire

Question 7

7. Pour la suite définie par $u_0=1000$ et $u_{n+1}=1,02u_n+10,2$ , quelle expression de la suite auxiliaire la rend géométrique ?

v_n=1,02u_n+510

v_n=u_n+510

v_n=u_n+10,2

v_n=u_n-510

Explication

Avec $v_n=u_n+510$ , on obtient $v_{n+1}=1,02v_n$ , donc une suite géométrique de raison $1,02$ . Le décalage doit compenser le terme constant $10,2$ dans la relation initiale.

Answer

$$v_n=u_n+510$$

Question 8

8. Quelles sont les deux étapes indispensables d’un raisonnement par récurrence ?

La définition et la factorisation

L’initialisation et l’hérédité

La dérivation et l’intégration

La majoration et la minoration

Explication

La récurrence consiste à vérifier la propriété au rang initial, puis à montrer que sa vérité au rang $n$ entraîne sa vérité au rang $n+1$ . Ces étapes permettent de conclure pour tous les rangs concernés.

Answer

L’initialisation et l’hérédité

Question 9

9. Dans l’étape d’hérédité d’une récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

Supposer

P_{n+1}

vraie puis démontrer

P_n

Vérifier

P_{n+1}

puis supposer

P_n

vraie

Supposer

P_n

vraie puis démontrer

P_{n+1}

Vérifier

P_{n_0}

puis calculer directement tous les rangs

Explication

L’hérédité repose sur l’hypothèse de récurrence $P_n$ et vise à établir $P_{n+1}$ . La vérification de $P_{n_0}$ appartient à l’initialisation, qui constitue une étape distincte.

Answer

Supposer $$P_n$$ vraie puis démontrer $$P_{n+1}$$

Question 10

10. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

u_{n+1}=u_n

pour tout entier

n

u_{n+1}\le u_n

pour tout entier

n

u_{n+1}\ge u_n

pour tout entier

n

Le signe de

u_n

alterne à chaque rang

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au précédent, ce qui s’écrit $u_{n+1}\ge u_n$ . La relation $u_{n+1}\le u_n$ caractérise une suite décroissante, tandis que l’égalité correspond à une suite constante.

Answer

$$u_{n+1}\ge u_n$$ pour tout entier $$n$$

Question 11

11. Une suite arithmétique de raison $r=-4$ possède quel sens de variation ?

Elle est strictement croissante

Elle n’est pas monotone

Elle est strictement décroissante

Elle est constante

Explication

Une suite arithmétique est strictement décroissante lorsque sa raison est négative ; ici, $r=-4<0$ . Une raison nulle donnerait une suite constante, et une raison positive une suite strictement croissante.

Answer

Elle est strictement décroissante

Question 12

12. Quel est le sens de variation de la suite définie par $u_n=(-2)^n$ ?

Elle est constante

Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Elle n’est pas monotone

Explication

Pour une suite de la forme $q^n$ , un quotient $q<0$ entraîne une alternance de signe et la suite n’est pas monotone. Les cas $q>1$ et $0<q<1$ donnent respectivement une croissance et une décroissance strictes.

Answer

Elle n’est pas monotone

Question 13

13. Pour déterminer les variations d’une suite dont les termes sont strictement positifs, quel outil peut comparer directement deux termes consécutifs ?

Le quotient

\frac{u_{n+1}}{u_n}

comparé à

1

La différence

u_{n+1}-u_n

remplacée par une valeur absolue

Le produit

u_{n+1}u_n

comparé à

0

La somme

u_{n+1}+u_n

comparée à

1

Explication

Lorsque les termes sont strictement positifs, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ peut être comparé à $1$ pour établir les variations. La différence convient aussi dans de nombreux cas, mais elle ne repose pas sur la positivité des termes.

Answer

Le quotient $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ comparé à $$1$$

Question 14

14. Quelle condition définit une suite majorée ?

Il existe un réel

M

tel que

u_n\le M

pour tout

n

Tous ses termes sont positifs ou nuls

Ses termes deviennent constants à partir d’un certain rang

Il existe un réel

m

tel que

u_n\ge m

pour tout

n

Explication

Une suite est majorée lorsqu’un réel $M$ est supérieur ou égal à chacun de ses termes, c’est-à-dire lorsque $u_n\le M$ pour tout $n$ . La condition $u_n\ge m$ définit plutôt une suite minorée.

Answer

Il existe un réel $$M$$ tel que $$u_n\le M$$ pour tout $$n$$

Question 15

15. Laquelle des propriétés suivantes caractérise une suite bornée ?

Elle est strictement croissante et strictement positive

Elle est constante à partir d’un certain rang

Elle est à la fois majorée et minorée

Elle possède une raison réelle constante

Explication

Une suite bornée possède simultanément un majorant et un minorant. Le fait d’être croissante, d’avoir une raison ou de devenir constante ne suffit pas, à lui seul, à garantir ces deux bornes.

Answer

Elle est à la fois majorée et minorée

Question 16

16. Quelle affirmation décrit correctement la suite $v_n=\frac{n+1}{n+2}$ ?

Elle est minorée par

0

et majorée par

1

Elle est majorée par

0

et minorée par

-1

Elle est minorée par

1

et dépourvue de majorant

Elle n’est ni majorée ni minorée

Explication

Pour tout entier naturel $n$ , la suite $v_n=\frac{n+1}{n+2}$ est comprise entre $0$ et $1$ ; elle possède donc un minorant et un majorant. La suite $(-3)^n$ constitue au contraire un exemple de suite qui n’est ni majorée ni minorée.

Answer

Elle est minorée par $$0$$ et majorée par $$1$$

QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison $r$ ?

2. La suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$ est-elle arithmétique ou géométrique ?

3. Quelle expression donne directement le terme général d’une suite arithmétique connaissant $u_0$ et sa raison $r$ ?

4. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , quelle formule permet de calculer directement $u_n$ ?

5. Quelle relation définit une suite arithmético-géométrique ?

6. Quelle démarche permet de transformer une suite arithmético-géométrique avec $a\ne1$ en suite géométrique ?

7. Pour la suite définie par $u_0=1000$ et $u_{n+1}=1,02u_n+10,2$ , quelle expression de la suite auxiliaire la rend géométrique ?

8. Quelles sont les deux étapes indispensables d’un raisonnement par récurrence ?

9. Dans l’étape d’hérédité d’une récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

10. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

11. Une suite arithmétique de raison $r=-4$ possède quel sens de variation ?

12. Quel est le sens de variation de la suite définie par $u_n=(-2)^n$ ?

13. Pour déterminer les variations d’une suite dont les termes sont strictement positifs, quel outil peut comparer directement deux termes consécutifs ?

14. Quelle condition définit une suite majorée ?

15. Laquelle des propriétés suivantes caractérise une suite bornée ?

16. Quelle affirmation décrit correctement la suite $v_n=\frac{n+1}{n+2}$ ?

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QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison rrr ?

2. La suite définie par u0=5u_0=5u0​=5 et un+1=3unu_{n+1}=3u_nun+1​=3un​ est-elle arithmétique ou géométrique ?

3. Quelle expression donne directement le terme général d’une suite arithmétique connaissant u0u_0u0​ et sa raison rrr ?

4. Pour une suite géométrique de premier terme u0u_0u0​ et de raison qqq, quelle formule permet de calculer directement unu_nun​ ?

5. Quelle relation définit une suite arithmético-géométrique ?

6. Quelle démarche permet de transformer une suite arithmético-géométrique avec a≠1a\ne1a=1 en suite géométrique ?

7. Pour la suite définie par u0=1000u_0=1000u0​=1000 et un+1=1,02un+10,2u_{n+1}=1,02u_n+10,2un+1​=1,02un​+10,2, quelle expression de la suite auxiliaire la rend géométrique ?

8. Quelles sont les deux étapes indispensables d’un raisonnement par récurrence ?

9. Dans l’étape d’hérédité d’une récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

10. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

11. Une suite arithmétique de raison r=−4r=-4r=−4 possède quel sens de variation ?

12. Quel est le sens de variation de la suite définie par un=(−2)nu_n=(-2)^nun​=(−2)n ?

13. Pour déterminer les variations d’une suite dont les termes sont strictement positifs, quel outil peut comparer directement deux termes consécutifs ?

14. Quelle condition définit une suite majorée ?

15. Laquelle des propriétés suivantes caractérise une suite bornée ?

16. Quelle affirmation décrit correctement la suite vn=n+1n+2v_n=\frac{n+1}{n+2}vn​=n+2n+1​ ?

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1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison $r$ ?

2. La suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$ est-elle arithmétique ou géométrique ?

3. Quelle expression donne directement le terme général d’une suite arithmétique connaissant $u_0$ et sa raison $r$ ?

4. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , quelle formule permet de calculer directement $u_n$ ?

6. Quelle démarche permet de transformer une suite arithmético-géométrique avec $a\ne1$ en suite géométrique ?

7. Pour la suite définie par $u_0=1000$ et $u_{n+1}=1,02u_n+10,2$ , quelle expression de la suite auxiliaire la rend géométrique ?

11. Une suite arithmétique de raison $r=-4$ possède quel sens de variation ?

12. Quel est le sens de variation de la suite définie par $u_n=(-2)^n$ ?

16. Quelle affirmation décrit correctement la suite $v_n=\frac{n+1}{n+2}$ ?