QCM : Fonctions polynômes du second degré — 12 questions

Question 1

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression donne l’abscisse du sommet ?

\beta=-\frac{\Delta}{4a}

\alpha=-\frac{\Delta}{4a}

\alpha=-\frac{b}{2a}

\beta=-\frac{b}{2a}

Explication

L’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ . L’expression $-\frac{\Delta}{4a}$ donne l’ordonnée du sommet, notée $\beta$ .

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$

Question 2

2. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$ , quelle propriété est vraie ?

La fonction admet un maximum égal à

\beta

pour

x=\alpha

.

La fonction admet un minimum égal à

\beta

pour

x=\alpha

.

La fonction admet un minimum égal à

\alpha

pour

x=\beta

.

La fonction admet un maximum égal à

\alpha

pour

x=\beta

.

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et son sommet correspond à un maximum de valeur $\beta$ atteint pour $x=\alpha$ . Le minimum correspond au cas $a>0$ .

Answer

La fonction admet un maximum égal à $$\beta$$ pour $$x=\alpha$$.

Question 3

3. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?

f(x)=2(x+5)^2-40

f(x)=2(x-5)^2-40

f(x)=2(x-5)^2+40

f(x)=2(x-10)^2-190

Explication

En complétant le carré, on obtient $2x^2-20x+10=2(x-5)^2-40$ . Le signe devant 5 et la constante finale résultent directement du développement de cette expression.

Answer

$$f(x)=2(x-5)^2-40$$

Question 4

4. Pour $f(x)=2x^2-3x+1$ , une racine vaut $1$ . Comment déterminer l’autre racine à l’aide du produit des racines ?

Elle vaut

3

, car le terme en

x

a pour coefficient

-3

.

Elle vaut

\frac{1}{2}

, car le produit vaut

\frac{1}{2}

.

Elle vaut

-\frac{1}{2}

, car le coefficient de

x

est négatif.

Elle vaut

2

, car la somme vaut

\frac{1}{2}

.

Explication

Le produit des racines est $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ; en divisant ce produit par la racine connue $1$ , on obtient $\frac{1}{2}$ . La somme des racines vaut plutôt $\frac{3}{2}$ , elle ne donne donc pas directement la valeur proposée par le deuxième choix.

Answer

Elle vaut $$\frac{1}{2}$$, car le produit vaut $$\frac{1}{2}$$.

Question 5

5. Quelle courbe représente graphiquement une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal ?

Une hyperbole

Une parabole

Un cercle

Une droite

Explication

Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. Une droite correspond notamment à une fonction affine, tandis qu’un cercle n’est pas le graphe d’une fonction polynôme du second degré.

Answer

Une parabole

Question 6

6. Que signifie qu’un nombre réel $r$ est une racine de la fonction $f$ ?

r=f(0)

f(r)=r

f(r)=0

r=0

Explication

Une racine est une valeur de $x$ qui annule la fonction, ce qui signifie que $f(r)=0$ . La valeur $f(r)$ désigne l’image obtenue, et non la racine elle-même.

Answer

$$f(r)=0$$

Question 7

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 ?

f(x)=3x^2-2x+1

f(x)=4

f(x)=3x-2

f(x)=2x^3+x-1

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 possède un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul. Les autres expressions sont respectivement de degré 1, de degré 3 et de degré 0.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Question 8

8. Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ et $a<0$ , quel est le signe de $f$ sur l’intervalle situé entre les deux racines ?

Il est nul en tout point.

Il est positif.

Il dépend de la valeur de

x

dans l’intervalle.

Il est négatif.

Explication

Entre les deux racines, le produit $(x-x_1)(x-x_2)$ est négatif ; le facteur $a<0$ inverse donc ce signe, et le polynôme est positif. Le polynôme s’annule aux racines, mais pas sur tout l’intervalle intermédiaire.

Answer

Il est positif.

Question 9

9. Une fonction polynôme du second degré a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=a(x-2)(x+5)

f(x)=a(x-2)(x-5)

f(x)=a(x+2)(x-5)

f(x)=a(x+2)(x+5)

Explication

Chaque racine $x_i$ fournit un facteur $x-x_i$ ; les racines $-2$ et $5$ donnent donc $x+2$ et $x-5$ . Les autres expressions correspondent à d’autres couples de racines.

Answer

$$f(x)=a(x+2)(x-5)$$

Question 10

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines, quelles expressions donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

S=\frac{b}{a}

et

P=-\frac{c}{a}

S=\frac{c}{a}

et

P=-\frac{b}{a}

S=-\frac{c}{a}

et

P=\frac{b}{a}

S=-\frac{b}{a}

et

P=\frac{c}{a}

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ , tandis que leur produit vaut $\frac{c}{a}$ . La confusion fréquente consiste à échanger ces deux relations ou leurs signes.

Answer

$$S=-\frac{b}{a}$$ et $$P=\frac{c}{a}$$

Question 11

11. Quelle expression donne la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

Explication

La forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et met en évidence les coordonnées du sommet. La forme développée utilise plutôt les coefficients $a$ , $b$ et $c$ .

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 12

12. Pour $f(x)=(x+2)(x-5)$ , sur quels intervalles la fonction est-elle négative ?

Sur

]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[

.

Sur

]-2,5[

.

Sur

]-\infty,5[\cup]-2,+\infty[

.

Sur

]-\infty,-2[\cup]-2,5[

.

Explication

Les racines sont $-2$ et $5$ , et le coefficient dominant est positif ; le signe est donc positif entre les racines et négatif à l’extérieur. L’intervalle $]-2,5[$ correspond ainsi à la zone positive, et non à la zone négative.

Answer

Sur $$]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[$$.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression donne l’abscisse du sommet ?

2. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$ , quelle propriété est vraie ?

3. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?

4. Pour $f(x)=2x^2-3x+1$ , une racine vaut $1$ . Comment déterminer l’autre racine à l’aide du produit des racines ?

5. Quelle courbe représente graphiquement une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal ?

6. Que signifie qu’un nombre réel $r$ est une racine de la fonction $f$ ?

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 ?

8. Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ et $a<0$ , quel est le signe de $f$ sur l’intervalle situé entre les deux racines ?

9. Une fonction polynôme du second degré a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle est sa forme factorisée ?

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines, quelles expressions donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

11. Quelle expression donne la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

12. Pour $f(x)=(x+2)(x-5)$ , sur quels intervalles la fonction est-elle négative ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle expression donne l’abscisse du sommet ?

2. Pour une fonction écrite sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β avec a<0a<0a<0, quelle propriété est vraie ?

3. Quelle est la forme canonique de la fonction f(x)=2x2−20x+10f(x)=2x^2-20x+10f(x)=2x2−20x+10 ?

4. Pour f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1f(x)=2x2−3x+1, une racine vaut 111. Comment déterminer l’autre racine à l’aide du produit des racines ?

5. Quelle courbe représente graphiquement une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal ?

6. Que signifie qu’un nombre réel rrr est une racine de la fonction fff ?

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 ?

8. Pour f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) avec x1<x2x_1<x_2x1​<x2​ et a<0a<0a<0, quel est le signe de fff sur l’intervalle situé entre les deux racines ?

9. Une fonction polynôme du second degré a pour racines distinctes −2-2−2 et 555. Quelle est sa forme factorisée ?

10. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines, quelles expressions donnent leur somme SSS et leur produit PPP ?

11. Quelle expression donne la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

12. Pour f(x)=(x+2)(x−5)f(x)=(x+2)(x-5)f(x)=(x+2)(x−5), sur quels intervalles la fonction est-elle négative ?

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1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression donne l’abscisse du sommet ?

2. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$ , quelle propriété est vraie ?

3. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?

4. Pour $f(x)=2x^2-3x+1$ , une racine vaut $1$ . Comment déterminer l’autre racine à l’aide du produit des racines ?

6. Que signifie qu’un nombre réel $r$ est une racine de la fonction $f$ ?

8. Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ et $a<0$ , quel est le signe de $f$ sur l’intervalle situé entre les deux racines ?

9. Une fonction polynôme du second degré a pour racines distinctes $-2$ et $5$ . Quelle est sa forme factorisée ?

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines, quelles expressions donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

12. Pour $f(x)=(x+2)(x-5)$ , sur quels intervalles la fonction est-elle négative ?