Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme factorisée et racines
2. Somme et produit des racines
3. Signe du polynôme factorisé
4. Forme canonique et sommet
5. Variations et représentation graphique

📖 1. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Racine : Solution de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si une fonction polynôme du second degré possède deux racines distinctes x₁ et x₂, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-3x=x(x-3)$, les racines sont 0 et 3.

📖 2. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines, leur somme S et leur produit P vérifient $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Lorsqu’une racine évidente est connue, on peut calculer l’autre grâce à la somme ou au produit des racines, puis écrire la forme factorisée.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-3x+1$, 1 est une racine et le produit des racines vaut $\frac{1}{2}$, donc l’autre racine est $\frac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

S = somme, P = produit

📖 3. Signe du polynôme factorisé

★ À maîtriser

📌 Si $x_1<x_2$, un polynôme factorisé $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ est du signe de a sur $]-\infty,x_1[\cup]x_2,+\infty[$ et du signe de -a sur $]x_1,x_2[$.

Compléments

• Un polynôme du second degré s’annule en ses deux racines x₁ et x₂.

• Pour $f(x)=(x+2)(x-5)$, f est négative sur $]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[$ et positive sur $]-2{,}5[$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur : signe de a ; entre les racines : signe opposé

📖 4. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$, où $\Delta=b^2-4ac$.

• Pour obtenir la forme canonique de $f(x)=2x^2-20x+10$, on complète le carré et on obtient $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

La parabole se construit autour du sommet (α, β)

📖 5. Variations et représentation graphique

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, f admet un minimum égal à β pour $x=\alpha$ ; si $a<0$, f admet un maximum égal à β pour $x=\alpha$.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du minimum ou du maximum est $x=\alpha=-\frac{b}{2a}$.

• Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Compléments

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante sur $]-\infty,\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha,+\infty[$ ; si $a<0$, elle est croissante puis décroissante sur ces mêmes intervalles.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’ouverture, donc le minimum ou le maximum

📊 Tableaux de synthèse

Effet du coefficient a