Fiche de révision : Calcul numérique et littéral

📋 Plan du Cours

1. Écritures fractionnaires
2. Définition et propriétés des puissances
3. Lois des puissances
4. Développement et factorisation

📖 1. Écritures fractionnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture fractionnaire : Quotient de deux nombres réels ou de deux expressions algébriques, avec un dénominateur non nul.

★ À maîtriser

📌 Dans une fraction, le numérateur est le terme situé au-dessus de la barre et le dénominateur est le terme situé au-dessous.

📐 Formule — Pour tous réels a, b et k avec b et k non nuls, on a $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, diviser $\frac{a}{b}$ par $\frac{c}{d}$ revient à multiplier $\frac{a}{b}$ par $\frac{d}{c}$.

Compléments

• La fraction $\frac{63}{18}$ se simplifie en $\frac{21}{6}$ puis en $\frac{7}{2}$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, multiplier $\frac{a}{c}$ par $\frac{b}{d}$ donne $\frac{a\times b}{c\times d}$.

💡 Astuce mémo

Numérateur au-dessus, dénominateur au-dessous : le dénominateur ne peut pas être nul.

📖 2. Définition et propriétés des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un entier naturel non nul n et un réel a, produit de n facteurs égaux à a.
• Inverse d’un nombre : Pour un réel a non nul, son inverse est $\frac{1}{a}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un réel a non nul et un entier naturel n, une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Les exemples du cours donnent $2^3=2\times2\times2=8$, $6^2=6\times6=36$ et $7^1=7$.

• Le cours donne $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$ et $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.

💡 Astuce mémo

Une puissance est une chaîne de facteurs identiques.

📖 3. Lois des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux réels non nuls a et b et deux entiers relatifs m et p, on a $a^m\times a^p=a^{m+p}$.

📐 Formule — Pour deux réels non nuls a et b et deux entiers relatifs m et p, on a $\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$.

📐 Formule — Pour des entiers relatifs m et p, on a $(a^m)^p=a^{m\times p}$.

Compléments

• On a $\frac{3^9}{3^2}=3^7=3^{9-2}$.

📐 Formule — Pour un réel a et un entier relatif m, on a $(a\times b)^m=a^m\times b^m$.

📐 Formule — Pour des réels a et b non nuls et un entier relatif m, on a $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne les exposants, diviser les soustrait, puissance d’une puissance les multiplie.

📖 4. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : Expression obtenue lorsque le facteur placé devant une parenthèse a été distribué à chacun des termes de cette parenthèse.
• Forme factorisée : Expression écrite comme un produit faisant apparaître un facteur commun.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous nombres réels a, b et K, la distributivité donne $K(a+b)=K\times a+K\times b=Ka+Kb$.

📐 Formule — Pour tous nombres réels a, b, c et d, on a $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• L’expression $2(x+4)$ se développe en $2x+8$.

💡 Astuce mémo

Distribuer un facteur, puis distribuer chaque terme du premier facteur aux termes du second.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’écriture algébrique