Fiche de révision : Suites et raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Suites arithmético-géométriques
3. Principe du raisonnement par récurrence
4. Sens de variation des suites
5. Suites majorées et minorées

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et ses formes explicites sont $u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_1+(n-1)r$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=u_nq$ et ses formes explicites sont $u_n=u_0q^n$ ou $u_n=u_1q^{n-1}$.

Compléments

📐 Formule — La somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $\frac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times n}{2}$.

• Pour la suite arithmétique définie par $u_0=11$ et $r=-3$, on obtient $u_n=11-3n$, $u_{2024}=-6061$ et $\sum_{i=0}^{2024}u_i=6125625$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 2. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$, où a et b sont deux réels donnés et $a\ne0$.

★ À maîtriser

• Pour une suite arithmético-géométrique avec $a\ne1$, on pose une suite auxiliaire obtenue par translation afin de la rendre géométrique, puis on exprime la suite auxiliaire et enfin la suite initiale.

📐 Formule — Dans l’exemple précédent, on a $v_n=1510\times1{,}02^n$ puis $u_n=1510\times1{,}02^n-510$.

Compléments

• Pour $u_0=1000$ et $u_{n+1}=1{,}02u_n+10{,}2$, la suite définie par $v_n=u_n+510$ vérifie $v_{n+1}=1{,}02v_n$ et est donc géométrique de raison 1,02.

💡 Astuce mémo

Translation de la suite → suite auxiliaire géométrique.

📖 3. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Le raisonnement par récurrence démontre qu’une propriété $P_n$ est vraie pour tous les entiers $n\ge n_0$ en vérifiant son initialisation et son hérédité.

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence consiste à vérifier que la propriété est vraie au rang initial, à supposer sa vérité à un rang n, puis à démontrer sa vérité au rang n+1 avant de conclure pour tous les rangs concernés.

Compléments

• Pour $u_1=3$ et $u_{n+1}=0{,}9u_n+1{,}3$, une récurrence montre que $u_n=13-\frac{100}{9}\times0{,}9^n$ pour tout $n\ge1$.

📐 Formule — Une récurrence permet de démontrer la formule $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ pour tout entier $n\ge1$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 4. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation d’une suite : Une suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout n, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$, constante si $u_{n+1}=u_n$, et monotone si elle ne change pas de sens de variation.

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si et seulement si $r>0$, strictement décroissante si et seulement si $r<0$, et constante si et seulement si $r=0$.

📌 La suite $q^n$ est strictement croissante si $q>1$, strictement décroissante si $0<q<1$, constante si $q=1$ et non monotone si $q<0$.

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 si les termes sont positifs, étudier une fonction f telle que $u_n=f(n)$, ou utiliser une récurrence.

Compléments

• Pour $u_n=n^2-n$, on a $u_{n+1}-u_n=2n\ge0$, donc la suite est croissante sur $\mathbb N$.

💡 Astuce mémo

Différence, quotient ou fonction : trois comparaisons pour un même sens de variation.

📖 5. Suites majorées et minorées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel M tel que $u_n\le M$ pour tout n.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel m tel que $u_n\ge m$ pour tout n.
• Suite bornée : Suite qui est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• La suite $u_n=n^2$ est minorée par 0 mais n’est pas majorée.

• La suite $v_n=\frac{n+1}{n+2}$ est minorée par 0 et majorée par 1, donc elle est bornée.

• Les méthodes sont:

  • Utiliser un majorant ou un minorant évident
  • Étudier les variations de la fonction associée
  • Étudier le signe de la différence avec la borne
  • Utiliser une démonstration par récurrence

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous ; les deux donnent une suite bornée.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de variation