Qu'est-ce qu'une suite en mathématiques ?
Une application de N vers R notée (u_n).
Comment peut-on définir une suite par son terme général ?
Par une formule donnant u_n en fonction de n.
Comment définit-on une suite par récurrence ?
Par une valeur initiale et une relation entre et u_n.
Quelle condition caractérise une suite croissante ?
Pour tout n, u_n ≤ .
Quelle condition caractérise une suite décroissante ?
Pour tout n, u_n ≥ .
Quand une suite est-elle dite bornée ?
Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
Quelle condition équivaut à une suite bornée en termes de valeur absolue ?
Il existe M' tel que |u_n| ≤ M' pour tout n.
Quelle condition définit la convergence d'une suite vers ℓ ?
Pour tout ε>0, il existe N tel que n≥N implique |u_n−ℓ|<ε.
Quelle propriété caractérise la limite d'une suite convergente ?
Elle est unique.
Quelle propriété toute suite convergente possède-t-elle ?
Elle est bornée.
Une suite bornée est-elle toujours convergente ?
Non, une suite bornée peut être divergente.
Que montre l'exemple de la suite u_n=(−1)^n ?
Elle est bornée mais divergente.
Que vaut la limite de la somme de deux suites convergentes ?
La somme des limites.
Que vaut la limite du produit de deux suites convergentes ?
Le produit des limites.
Quelle est la limite du quotient de deux suites convergentes si le dénominateur ne tend pas vers zéro ?
Le quotient des limites.
Quelle condition implique la convergence de w_n vers ℓ si u_n≤w_n≤v_n ?
u_n et v_n convergent vers la même limite ℓ.
Vers quoi converge une suite croissante et majorée ?
Vers sa borne supérieure.
Vers quoi converge une suite décroissante et minorée ?
Vers sa borne inférieure.
Que devient une suite croissante non majorée ?
Elle diverge vers +∞.
Que devient une suite décroissante non minorée ?
Elle diverge vers −∞.
Quelle est la formule définissant une suite arithmétique ?
Quelle formule donne la somme des termes d'une suite arithmétique ?
Quelle est la formule définissant une suite géométrique ?
Quelle formule donne la somme d'une série géométrique si ?
Quelles conditions définissent deux suites adjacentes ?
u_n croissante, v_n décroissante, u_n ≤ v_n et u_n - v_n → 0.
Que peut-on dire des limites de deux suites adjacentes ?
Elles convergent vers la même limite.
Qu'est-ce qu'une suite extraite d'une suite (u_n) ?
Une suite (v_n) telle que avec φ strictement croissante de N dans N.
Que vaut la limite d'une sous-suite d'une suite convergente ?
Elle est égale à la limite de la suite initiale.
Qu'est-ce qu'une série numérique à terme général u_n ?
La suite des sommes partielles .
Quand une série numérique converge-t-elle ?
Quand la suite des sommes partielles converge.
Que devient le terme général d'une série convergente ?
Il tend vers 0.
Quelle série montre que le terme général tendant vers 0 n'implique pas convergence ?
La série harmonique .
Quelle condition assure la convergence d'une série à termes positifs ?
Sa suite de sommes partielles est majorée.
Pourquoi une série à termes positifs converge-t-elle si sa suite de sommes partielles est majorée ?
Parce qu'elle est croissante et majorée.
Qu'impose la notation u_n=O(v_n) en comparaison asymptotique ?
Il existe K>0 et N∈N tels que |u_n|≤K|v_n| pour tout n≥N.
Que signifie u_n∼v_n en termes de différence entre u_n et v_n ?
u_n−v_n=o(v_n).
Que signifie u_n∼v_n en termes de rapport u_n/v_n ?
Le rapport u_n/v_n tend vers 1 lorsque cela est défini.
Quelle condition assure la convergence de ∑u_n si u_n=O(v_n) pour des séries à termes positifs ?
Si ∑v_n converge, alors ∑u_n converge.
Quelle condition sur α assure la convergence de ?
α doit être strictement supérieur à 1.
Quand la série converge-t-elle ?
Si α>1 ou si α=1 et β>1.
Que signifie la limite ℓ du rapport pour la convergence d'une série positive ?
Si ℓ<1 la série converge, si ℓ>1 elle diverge.
Qu'est-ce qu'une série alternée ?
Une série de la forme ∑(−1)^nv_n avec v_n positive.
Quelles conditions assurent la convergence d'une série alternée ∑(−1)^nv_n ?
v_n positive, décroissante et tend vers 0.
Quelle inégalité borne le reste R_n d'une série alternée ?
.
Quand la série ∑a_nv_n converge-t-elle selon la règle d'Abel ?
Si a_n est positive, décroissante, tend vers 0 et ∑v_n a des sommes partielles bornées.
Que signifie que les sommes partielles de ∑v_n sont bornées ?
Leurs valeurs restent comprises dans un intervalle fini.
Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?
Une série dont la série des valeurs absolues converge.
Comment se définit le produit de Cauchy de deux séries ∑u_n et ∑v_n ?
C'est la série ∑c_n avec .
Que garantit la convergence absolue de deux séries pour leur produit de Cauchy ?
Le produit de Cauchy est absolument convergent.
Que vaut la somme du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes ?
Le produit des sommes des deux séries.
Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy ?
Une suite où pour tout ε>0, il existe N tel que p,q≥N implique |u_p−u_q|≤ε.
Que vaut la limite du reste d'une série convergente ?
Elle tend vers 0.
Quels exemples illustrent la comparaison asymptotique dans cette section ?
n^2∼n(n+1) et .
Pourquoi la série ∑2^n/n! converge-t-elle ?
Parce que le rapport de deux termes consécutifs tend vers 0.
Comment la preuve du critère alterné encadre-t-elle les sommes partielles ?
Par deux suites adjacentes dont l’écart tend vers 0.
Pourquoi la série n'est-elle pas absolument convergente ?
Parce que la série diverge.
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1. Quelle notation décrit correctement une suite réelle définie comme une application de vers ?
2. Laquelle de ces expressions définit une suite par son terme général plutôt que par une relation de récurrence ?
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