Fiche de révision : Suites et séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Définitions et propriétés des suites
2. Limites et opérations fondamentales
3. Comparaisons et limites monotones
4. Suites de référence
5. Suites adjacentes et extraites
6. Séries et sommes partielles
7. Comparaison asymptotique des séries
8. Critères pour séries positives
9. Séries alternées et règle d’Abel
10. Convergence absolue et produit de Cauchy

📖 1. Définitions et propriétés des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Application de N vers R, dont u_n est le n-ième terme.
• Suite monotone : Une suite est croissante si, pour tout n∈N, u_n≤u_{n+1}, et décroissante si, pour tout n∈N, u_n≥u_{n+1}.
• Suite bornée : Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à l’existence de M′∈R tel que |u_n|≤M′ pour tout n∈N.

📝 Points essentiels

📌 Une suite peut être définie par son terme général, comme u_n=1/n, u_n=√n ou u_n=(-1)^n, ou par récurrence, comme u_0=1 et u_{n+1}=3u_n−4.

💡 Astuce mémo

Croissante : les termes montent ; décroissante : les termes descendent.

📖 2. Limites et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence : Une suite converge vers ℓ si, pour tout ε>0, il existe N∈N tel que n≥N entraîne |u_n−ℓ|<ε.

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite convergente est unique.

📌 Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut être divergente, comme la suite u_n=(−1)^n.

📐 Formule - Si u_n→ℓ et v_n→ℓ′, alors u_n+v_n→ℓ+ℓ′, u_nv_n→ℓℓ′ et, si ℓ′≠0, $\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{\ell'}$.

💡 Astuce mémo

Convergence → bornitude ; bornitude seule ↛ convergence.

📖 3. Comparaisons et limites monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si, pour tout ε>0, il existe N∈N tel que p,q≥N entraîne |u_p−u_q|≤ε.

📝 Points essentiels

• Si u_n≤w_n≤v_n à partir d’un certain rang et si u_n et v_n convergent vers la même limite ℓ, alors w_n converge vers ℓ.

• Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure, tandis qu’une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

• Une suite croissante non majorée diverge vers +∞, et une suite décroissante non minorée diverge vers −∞.

💡 Astuce mémo

Monotone + bornée → limite ; monotone non bornée → infini.

📖 4. Suites de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite définie par u_n=u_0+nr, où r est sa raison.
• Suite géométrique : Suite définie par u_n=u_0q^n, où q est sa raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie $\sum_{k=0}^{n}(u_0+kr)=\frac{(n+1)(2u_0+nr)}{2}$.

📐 Formule - Si |q|<1, la série géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{+\infty}u_0q^k=\frac{u_0}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : évolution additive ; géométrique : évolution multiplicative.

📖 5. Suites adjacentes et extraites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites u_n et v_n sont adjacentes si u_n est croissante, v_n est décroissante, u_n≤v_n pour tout n et u_n−v_n→0.
• Suite extraite : Une suite (v_n) est extraite de (u_n) s’il existe une application strictement croissante φ:N→N telle que v_n=u_{φ(n)}.

📝 Points essentiels

📌 Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

📌 Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.

💡 Astuce mémo

Deux suites se resserrent comme deux pinces autour d’une même limite.

📖 6. Séries et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série de terme général u_n est la suite des sommes partielles S_n=∑_{k=0}^n u_k, et elle converge si cette suite converge.

★ À maîtriser

📌 Si une série converge, son terme général tend vers 0, mais la réciproque est fausse, comme pour la série harmonique ∑_{n≥1}1/n.

📌 Une série à termes positifs converge lorsque sa suite de sommes partielles est majorée, car elle est alors croissante et majorée.

Compléments

• Pour une série convergente, le reste R_n entre la somme de la série et la somme partielle d’indice n tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Sommes partielles convergentes → série convergente → terme général nul.

📖 7. Comparaison asymptotique des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison asymptotique : On écrit u_n=O(v_n) lorsqu’il existe K>0 et N∈N tels que |u_n|≤K|v_n| pour tout n≥N.
• Équivalence : On écrit u_n∼v_n lorsque u_n−v_n=o(v_n), ce qui signifie que le rapport u_n/v_n tend vers 1 lorsque cela est défini.

★ À maîtriser

📌 Pour des séries à termes positifs, si ∑v_n converge et u_n=O(v_n), alors ∑u_n converge.

Compléments

• L’équivalence n^2∼n(n+1) et la relation 2^{-n}=o(1/n^2) donnent deux exemples de comparaison asymptotique.

💡 Astuce mémo

O contrôle par majoration ; ∼ conserve la nature de la série.

📖 8. Critères pour séries positives

★ À maîtriser

• La série ∑_{n≥1}1/n^α converge si et seulement si α>1.

• La série ∑_{n≥2}1/(n^α log^β(n)) converge si et seulement si α>1 ou si α=1 et β>1.

• Pour une série à termes strictement positifs, si u_{n+1}/u_n tend vers ℓ<1 la série converge, tandis que si ℓ>1 elle diverge.

Compléments

• La série ∑2^n/n! converge car le rapport de deux termes consécutifs tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Riemann-Bertrand, puis comparaison des rapports, puis D’Alembert.

📖 9. Séries alternées et règle d’Abel

🔑 Notions clés & Définitions

• Série alternée : Série de la forme ∑(−1)^nv_n où v_n est une suite positive.

★ À maîtriser

📌 Si v_n est positive, décroissante et tend vers 0, alors la série ∑(−1)^nv_n converge et son reste vérifie |R_n|≤v_{n+1}.

📌 La série ∑a_nv_n converge si a_n est positive, décroissante et tend vers 0, tandis que les sommes partielles de ∑v_n sont bornées.

Compléments

• La preuve du critère alterné encadre les sommes partielles paires et impaires par deux suites adjacentes dont l’écart tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Alternée : signe oscillant ; Abel : coefficient décroissant multipliant une série bornée.

📖 10. Convergence absolue et produit de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Une série ∑u_n est absolument convergente lorsque la série ∑|u_n| converge.
• Produit de Cauchy : Le produit de Cauchy de ∑u_n et ∑v_n est la série ∑c_n définie par c_n=∑{k=0}^n u_kv{n−k}.

★ À maîtriser

📌 Si deux séries sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est absolument convergent et sa somme est le produit des deux sommes.

Compléments

• La série ∑{n≥1}(−1)^n/n converge mais n’est pas absolument convergente, car ∑{n≥1}1/n diverge.

💡 Astuce mémo

Convergence absolue des deux séries → convergence absolue du produit de Cauchy.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques