Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération des suites
2. Représentation graphique des suites
3. Sens de variation
4. Limite et divergence

📖 1. Définition et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction qui, à tout entier naturel n, associe un nombre réel u_n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une formule explicite donne directement le terme de rang n sous la forme $u_n=f(n)$, où f est définie sur [0 ; +∞[ et n est entier naturel.

📐 Formule - Une formule de récurrence donne le terme suivant sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ et nécessite la donnée d'un terme initial, généralement u_0.

Compléments

📌 Dans une suite (u_n), n est le rang et u_n est le terme de rang n.

• Pour la suite explicite $u_n=2n+1$, on obtient u_0=1, u_1=3 et u_{100}=201.

• Avec u_0=3 et $u_{n+1}=2u_n+1$, les premiers termes sont u_1=7, u_2=15 et u_3=31.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : n → u_n ; récurrence : u_n → u_{n+1}

📖 2. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Ensemble des points M(n ; u_n) dans un repère, où n est un entier naturel.

★ À maîtriser

📌 Si u_n=f(n), la représentation de la suite est le nuage des points d'abscisses entières situés sur la courbe de f.

Compléments

• Pour $u_n=\frac{6}{n+2}$, les valeurs sont u_0=3, u_1=2, u_2=3/2 et u_3=6/5.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points M(n ; u_n) posé sur la courbe de f

📖 3. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite qui vérifie, pour tout entier naturel n, $u_n\leq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

📌 Une suite est constante si u_n=u_{n+1} pour tout n et décroissante si u_n≥u_{n+1} pour tout n.

• Pour étudier le sens de variation dans le cas général, on étudie le signe de u_{n+1}-u_n pour tout n.

Compléments

📌 Si u_n=f(n) et que f est croissante sur [n_0 ; +∞[, alors (u_n) est croissante pour tout n≥n_0 ; si f est décroissante sur cet intervalle, alors (u_n) est décroissante pour tout n≥n_0.

• La suite définie par $u_n=n^2+3$ est croissante car $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$ pour tout n naturel.

💡 Astuce mémo

Signe de u_{n+1}−u_n positif → croissance ; négatif → décroissance

📖 4. Limite et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Suite dont les termes se rapprochent d'un réel L lorsque n augmente indéfiniment.
• Suite divergente : Suite qui n'est pas convergente.

📝 Points essentiels

• La suite définie par $u_n=\frac{2}{n}+0{,}5$ converge vers 0,5.

• La suite définie par $u_n=n^2$ est divergente et vérifie $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Convergence vers un réel L ≠ divergence vers l’infini ou par oscillation

📊 Tableaux de synthèse

Modes de génération d'une suite