Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Propriétés et quantificateurs mathématiques
3. Démonstrations par récurrence
4. Variations des suites
5. Suites majorées et minorées
6. Définitions des limites
7. Opérations et comparaison des limites
8. Suites géométriques et monotones

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : Phrase, écrite ou non avec des symboles mathématiques, qui est soit vraie soit fausse.

📝 Points essentiels

• Pour démontrer une propriété par récurrence à partir du rang n₀, il faut montrer son initialisation au rang n₀, puis son hérédité du rang k au rang k+1, avant de conclure qu’elle est vraie pour tout n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Propriétés et quantificateurs mathématiques

★ À maîtriser

📌 Les quantificateurs ∀ et ∃ signifient respectivement « pour tout » et « il existe au moins un ».

📐 Formule - L’inégalité de Bernoulli s’écrit $\forall n \in \mathbb{N},\ (1+a)^n \ge 1+na$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel x, $x^2 \ge 0$, ce qui s’écrit aussi $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$.

💡 Astuce mémo

∀ affirme pour tous, ∃ affirme qu’au moins un existe

📖 3. Démonstrations par récurrence

📝 Points essentiels

• La récurrence permet de démontrer que, pour tout n ∈ ℕ*, $\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$.

• La récurrence permet de démontrer que, pour tout n ∈ ℕ, $4^n-1$ est un multiple de 3.

💡 Astuce mémo

Rang initial → rang k → rang k+1

📖 4. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante.
• Suite stationnaire : Constante à partir d’un rang p, c’est-à-dire si $u_{n+1}=u_n$ pour tout n ≥ p.

★ À maîtriser

📌 Pour une suite strictement positive, si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge1$ pour tout n, elle est croissante, et si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le1$ pour tout n, elle est décroissante.

Compléments

📌 Si une suite est définie par $u_n=f(n)$ et que f est croissante sur [0 ; +∞[, la suite est croissante ; si f est décroissante, la suite est décroissante.

• Une suite arithmétique de raison r est croissante si r ≥ 0 et décroissante si r ≤ 0.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissance ; différence négative : décroissance

📖 5. Suites majorées et minorées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : S’il existe un réel M tel que $u_n\le M$ pour tout n ∈ ℕ.
• Suite minorée : S’il existe un réel m tel que $u_n\ge m$ pour tout n ∈ ℕ.
• Suite bornée : À la fois minorée et majorée, c’est-à-dire s’il existe m et M tels que $m\le u_n\le M$ pour tout n.

📝 Points essentiels

📌 Toute suite croissante est minorée par son premier terme et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

• Pour $u_n=3-\frac1n$ définie sur ℕ*, la suite est majorée par 3 et minorée par 2, donc elle est bornée.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous

📖 6. Définitions des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite réelle : Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs uₙ à partir d’un certain rang.

• Limite infinie : Pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs ou égaux à A à partir d’un certain rang, ou inférieurs ou égaux à A dans le cas de −∞.

★ À maîtriser

📐 Formule - La convergence vers ℓ s’écrit $\forall r>0,\ \exists p\in\mathbb{N},\ \forall n\ge p,\ |u_n-\ell|\le r$.

• On a $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$ et plus généralement $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^k}=0$ pour k ∈ ℕ*.

Compléments

• La limite d’une suite convergente est unique.

• Les suites définies par $u_n=\sin(n)$ et $v_n=3(-1)^n+1$ divergent sans tendre vers +∞ ni −∞, car elles oscillent.

💡 Astuce mémo

Converger vers un réel, diverger vers +∞ ou −∞

📖 7. Opérations et comparaison des limites

★ À maîtriser

• Pour une somme de suites, les limites s’additionnent lorsque l’opération n’est pas une forme indéterminée ; par exemple, $\lim_{n\to+\infty}(n^2+\frac1n)=+\infty$.

• Pour un produit de suites, les limites se multiplient en tenant compte des signes, mais certaines configurations, notamment 0×∞, sont des formes indéterminées.

• Pour un quotient dont le dénominateur ne s’annule jamais, le calcul dépend de sa limite et de son signe ; un quotient par une limite nulle peut être une forme indéterminée.

• Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n$ et $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$ ; de même, si $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

• Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$ et si uₙ et wₙ convergent vers la même limite ℓ, alors vₙ converge vers ℓ.

Compléments

• Comme $-\frac1n\le\frac{\sin(n)}n\le\frac1n$ et que les deux bornes tendent vers 0, on a $\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin(n)}n=0$.

💡 Astuce mémo

Une suite est encadrée entre deux gendarmes qui convergent vers la même limite

📖 8. Suites géométriques et monotones

★ À maîtriser

• Pour une suite géométrique de raison q, si q>1 alors $q^n\to+\infty$, si q=1 alors $q^n\to1$, si −1<q<1 alors $q^n\to0$, et si q≤−1 elle diverge sans limite.

• Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, si q>1 la limite vaut +∞ lorsque u₀>0 et −∞ lorsque u₀<0 ; si q=1 elle vaut u₀ ; si −1<q<1 elle vaut 0 ; si q≤−1 la suite n’a pas de limite.

• Une suite croissante et non majorée tend vers +∞, tandis qu’une suite décroissante et non minorée tend vers −∞.

• Toute suite croissante et majorée est convergente, et toute suite décroissante et minorée est convergente.

Compléments

📌 Si une suite est croissante et converge vers ℓ, elle est majorée par ℓ ; si elle est décroissante et converge vers ℓ, elle est minorée par ℓ.

• Pour la suite définie par $u_0=\frac12$ et $u_{n+1}=u_n-u_n^2$, si l’on montre que 0<uₙ<1, elle est décroissante et minorée par 0 ; elle est donc convergente.

💡 Astuce mémo

Monotonie + bornage → convergence

📊 Tableaux de synthèse

Critères de variation des suites