QCM : Suites numériques et limites (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment caractériser une propriété mathématique ?

C’est une règle de calcul applicable à chaque expression
C’est une égalité qui doit être vraie pour tout nombre
C’est une hypothèse provisoire utilisée dans une démonstration
C’est une phrase qui peut être vraie ou fausse

C’est une phrase qui peut être vraie ou fausse

Explication

Une propriété mathématique est une phrase, avec ou sans symboles, à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : vraie ou fausse. Une règle de calcul décrit une opération, tandis qu’une hypothèse joue un rôle différent dans un raisonnement.

2. Pour établir par récurrence une propriété à partir du rang n0n_0, quelle démarche faut-il suivre ?

Prouver directement la propriété pour un entier kk quelconque sans rang initial
Vérifier la propriété pour plusieurs rangs consécutifs, puis généraliser
Vérifier la propriété au rang n0n_0, établir sa transmission de kk à k+1k+1, puis conclure
Établir la transmission de kk à k+1k+1, puis vérifier un rang de départ

Vérifier la propriété au rang $$n_0$$, établir sa transmission de $$k$$ à $$k+1$$, puis conclure

Explication

Une récurrence comporte une initialisation au rang n0n_0, une hérédité de kk à k+1k+1, puis une conclusion pour tout n≥n0n\ge n_0. Vérifier plusieurs premiers rangs ne remplace pas l’établissement de l’hérédité.

3. Que signifient respectivement les quantificateurs ∀\forall et ∃\exists ?

« Il est possible que » et « il est impossible que »
« Il existe au moins un » et « pour tout »
« Pour un seul » et « pour plusieurs »
« Pour tout » et « il existe au moins un »

« Pour tout » et « il existe au moins un »

Explication

Le symbole ∀\forall affirme qu’une propriété concerne chaque élément considéré, tandis que ∃\exists affirme qu’au moins un élément la vérifie. Ainsi, une assertion avec ∃\exists peut être satisfaite par un seul élément.

4. Quelle expression correspond à l’inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel nn et tout réel aa ?

∀n∈N, (1+a)n≤1+na\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n\le 1+na
∀n∈N, (1+a)n≥1+na\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n\ge 1+na
∀n∈N, (1+a)n=1+na\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n=1+na
∀n∈N, (1+a)n≥1+n+a\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n\ge 1+n+a

$$\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n\ge 1+na$$

Explication

L’inégalité de Bernoulli s’écrit ∀n∈N, (1+a)n≥1+na\forall n\in\mathbb{N},\ (1+a)^n\ge 1+na. Le signe d’égalité ne convient pas en général, car l’expression peut être strictement supérieure à son minorant.

5. Quelle formule la récurrence permet-elle de démontrer pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^* ?

∑j=1nj=n22\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n^2}{2}
∑j=1nj=n(n+1)\sum_{j=1}^{n}j=n(n+1)
∑j=1nj=n(n+1)2\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}
∑j=1nj=n(n−1)2\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n-1)}{2}

$$\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$$

Explication

La somme des entiers de 11 à nn vaut n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}, résultat que l’on peut établir par initialisation et hérédité. La formule avec n(n−1)n(n-1) correspondrait à un décalage de l’indice et ne donne pas la bonne somme.

6. Quelle propriété caractérise une suite monotone ?

Elle est constante à partir d’un certain rang
Elle converge vers une valeur réelle
Elle est croissante ou décroissante
Elle reste comprise entre deux réels fixes

Elle est croissante ou décroissante

Explication

Une suite monotone est, par définition, soit croissante, soit décroissante. Le fait d’être constante à partir d’un rang caractérise plutôt une suite stationnaire.

7. Une suite strictement positive vérifie un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge1 pour tout nn. Que peut-on en déduire ?

La suite est stationnaire
La suite est nécessairement convergente
La suite est décroissante
La suite est croissante

La suite est croissante

Explication

Pour une suite strictement positive, un quotient consécutif supérieur ou égal à 11 signifie que un+1≥unu_{n+1}\ge u_n, donc la suite est croissante. Cette condition ne suffit pas à établir sa convergence.

8. Quelle condition définit une suite majorée ?

Le premier terme est supérieur à tous les termes suivants.
Il existe un réel mm tel que un≥mu_n\ge m pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}.
Il existe un réel MM tel que un≤Mu_n\le M pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}.
Il existe deux réels mm et MM tels que m≤un≤Mm\le u_n\le M pour tout nn.

Il existe un réel $$M$$ tel que $$u_n\le M$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

Une suite est majorée lorsqu’un réel MM est supérieur ou égal à chacun de ses termes. La présence simultanée d’une borne inférieure définirait une suite bornée, et non simplement majorée.

9. Dans quelle situation une suite est-elle bornée ?

Elle est croissante et son premier terme est positif.
Elle possède une borne inférieure et une borne supérieure.
Elle possède une borne supérieure sans borne inférieure.
Elle possède une borne inférieure sans borne supérieure.

Elle possède une borne inférieure et une borne supérieure.

Explication

Une suite bornée est à la fois minorée et majorée : il existe donc mm et MM tels que m≤un≤Mm\le u_n\le M pour tout nn. Une seule borne ne suffit pas pour conclure qu’elle est bornée.

10. Que peut-on affirmer à propos d’une suite croissante ?

Elle est minorée par son premier terme.
Elle est bornée par deux multiples de son premier terme.
Elle est majorée par son premier terme.
Elle converge vers son premier terme.

Elle est minorée par son premier terme.

Explication

Dans une suite croissante, chaque terme est supérieur ou égal au précédent, donc au premier terme : celui-ci fournit une borne inférieure. Le premier terme ne fournit pas nécessairement une borne supérieure.

11. Que signifie qu’une suite converge vers un réel ℓ\ell ?

À partir d’un certain rang, ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell.
Ses termes dépassent tout réel positif à partir d’un certain rang.
Ses termes deviennent égaux à ℓ\ell$ à partir d’un certain rang.
Ses termes alternent autour de ℓ\ell$ sans se rapprocher durablement.

À partir d’un certain rang, ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant $$\ell$$.

Explication

La convergence vers ℓ\ell signifie que les termes se rapprochent durablement de ce réel : tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell$ finit par contenir tous les termes. Devenir égal à la limite à partir d’un rang décrit une situation plus particulière.

12. Quelle formulation correspond à la définition formelle de la convergence de unu_n vers ℓ\ell ?

Il existe p∈Np\in\mathbb{N} tel que ∣un−ℓ∣=0|u_n-\ell|=0 pour tout n≥pn\ge p.
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, il existe r>0r>0 tel que ∣un−ℓ∣≤r|u_n-\ell|\le r.
Pour tout r>0r>0, il existe p∈Np\in\mathbb{N} tel que, pour tout n≥pn\ge p, ∣un−ℓ∣≤r|u_n-\ell|\le r.
Il existe r>0r>0 tel que, pour tout p∈Np\in\mathbb{N}, on ait ∣un−ℓ∣≤r|u_n-\ell|\le r pour tout n≥pn\ge p.

Pour tout $$r>0$$, il existe $$p\in\mathbb{N}$$ tel que, pour tout $$n\ge p$$, $$|u_n-\ell|\le r$$.

Explication

La définition exige que toute précision r>0r>0 soit satisfaite à partir d’un certain rang pp. La dernière formulation impose une égalité exacte avec la limite, ce qui est plus fort que la convergence.

13. Quelle condition caractérise une suite qui tend vers +∞+\infty ?

Pour tout réel AA, ses termes sont supérieurs ou égaux à AA$ à partir d’un certain rang.
Pour tout réel AA, ses termes sont inférieurs ou égaux à AA$ à partir d’un certain rang.
Ses termes se rapprochent d’un réel fixe lorsque nn augmente.
Ses termes oscillent autour d’une valeur sans devenir durablement grands.

Pour tout réel $$A$$, ses termes sont supérieurs ou égaux à $$A$$$ à partir d’un certain rang.

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie dépasser, à partir d’un certain rang, tout réel fixé AA. La condition avec des termes inférieurs ou égaux à AA$ caractérise au contraire une tendance vers −∞-\infty.

14. Pourquoi les suites définies par un=sin⁡(n)u_n=\sin(n) et vn=3(−1)n+1v_n=3(-1)^n+1 ne possèdent-elles pas de limite infinie ?

Elles dépassent progressivement tout réel positif mais changent parfois de signe.
Elles oscillent sans se rapprocher durablement d’une limite ou d’une direction infinie.
Elles restent positives et décroissent vers une valeur réelle non nulle.
Elles deviennent constantes après un rang et leur limite est difficile à calculer.

Elles oscillent sans se rapprocher durablement d’une limite ou d’une direction infinie.

Explication

Ces deux suites oscillent et ne se stabilisent ni vers un réel, ni vers +∞+\infty, ni vers −∞-\infty. Le changement de signe de certains termes ne suffit pas à expliquer leur comportement, car l’oscillation sans limite est le phénomène déterminant.

15. Quelle est la limite de la suite définie par un=n2+1nu_n=n^2+\frac{1}{n} lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

Elle n’a pas de limite
Elle tend vers +∞+\infty
Elle tend vers 11
Elle tend vers 00

Elle tend vers $$+\infty$$

Explication

Le terme n2n^2 tend vers +∞+\infty et le terme 1n\frac{1}{n} tend vers 00, donc leur somme tend vers +∞+\infty. En revanche, une somme de termes tendant vers +∞+\infty et −∞-\infty serait une forme indéterminée.

16. Quelle situation constitue une forme indéterminée lors du calcul de la limite d’un produit de suites ?

Le produit de deux suites tendant vers −2-2 et 44
Le produit d’une suite tendant vers 00 par une suite tendant vers +∞+\infty
Le produit d’une suite tendant vers 33 par une suite tendant vers +∞+\infty
Le produit d’une suite tendant vers −∞-\infty par une suite tendant vers −5-5

Le produit d’une suite tendant vers $$0$$ par une suite tendant vers $$+\infty$$

Explication

La forme 0×∞0\times\infty est indéterminée, car le comportement du produit dépend de la vitesse à laquelle les deux facteurs évoluent. Un facteur tendant vers une limite finie non nulle multiplié par une suite infinie donne en revanche une limite infinie avec un signe déterminé.

17. Pourquoi faut-il examiner la limite et le signe du dénominateur dans un quotient de suites ?

Parce qu’un dénominateur divergent rend le quotient nécessairement divergent
Parce qu’un dénominateur non nul supprime l’effet du numérateur
Parce qu’un dénominateur positif impose toujours une limite nulle
Parce qu’un dénominateur tendant vers zéro peut produire une forme indéterminée

Parce qu’un dénominateur tendant vers zéro peut produire une forme indéterminée

Explication

Le comportement d’un quotient dépend notamment de la limite et du signe du dénominateur, et une limite nulle au dénominateur peut conduire à une forme indéterminée. Un dénominateur positif ne suffit donc pas à imposer une limite nulle.

18. Si, à partir d’un certain rang, un≤vn≤wnu_n\le v_n\le w_n et si unu_n et wnw_n tendent vers la même limite ℓ\ell, vers quelle valeur tend vnv_n ?

Vers −∞-\infty parce que la borne inférieure converge
Vers ℓ\ell par encadrement
Vers une limite différente déterminée par la borne supérieure
Vers +∞+\infty parce qu’elle est comprise entre deux suites

Vers $$\ell$$ par encadrement

Explication

Le théorème des gendarmes affirme qu’une suite comprise entre deux suites ayant la même limite converge vers cette limite commune. Le simple fait d’être encadrée ne force pas une divergence vers l’infini.

19. Quel comportement possède la suite géométrique de terme général qnq^n lorsque −1<q<1-1<q<1 ?

Elle tend vers 00
Elle diverge par oscillations sans limite
Elle tend vers +∞+\infty
Elle tend vers 11

Elle tend vers $$0$$

Explication

Lorsque −1<q<1-1<q<1, les puissances successives de qq tendent vers 00. La divergence par oscillations concerne notamment les raisons vérifiant q≤−1q\le -1.

20. Soit une suite géométrique de premier terme u0=−3u_0=-3 et de raison q=2q=2. Quelle est sa limite ?

Elle tend vers +∞+\infty
Elle tend vers 00
Elle tend vers −∞-\infty
Elle converge vers −3-3

Elle tend vers $$-\infty$$

Explication

Pour q>1q>1, la valeur absolue des termes croît sans borne et le signe de l’infini est déterminé par celui de u0u_0. Comme u0<0u_0<0, la suite tend vers −∞-\infty.

21. Une suite est croissante et non majorée. Quelle conclusion peut-on tirer sur sa limite ?

Elle converge vers une limite finie
Elle alterne entre deux valeurs limites
Elle tend vers +∞+\infty
Elle tend vers −∞-\infty

Elle tend vers $$+\infty$$

Explication

Une suite croissante non majorée dépasse toute borne et tend donc vers +∞+\infty. La limite −∞-\infty correspond au cas d’une suite décroissante non minorée.

22. Quelle propriété garantit la convergence d’une suite croissante ?

Elle est décroissante et minorée
Elle possède une raison géométrique supérieure à 11
Elle est non majorée
Elle est majorée

Elle est majorée

Explication

Toute suite croissante et majorée est convergente, d’après le théorème de convergence monotone. Une croissance non majorée entraîne plutôt une divergence vers +∞+\infty.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une propriété mathématique ?

Une phrase vraie ou fausse, écrite ou non en symboles mathématiques.

Quelle est la première étape pour démontrer une propriété par récurrence à partir de n₀ ?

Montrer son initialisation au rang n₀.

Quelle étape suit l'initialisation dans une démonstration par récurrence ?

Montrer l'hérédité du rang k au rang k+1.

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