Fiche de révision : Suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Modéliser un taux constant
2. Définir une suite géométrique
3. Calculer un terme
4. Relier taux et raison
5. Étudier le sens de variation
6. Additionner les termes

📖 1. Modéliser un taux constant

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même nombre q, appelé raison.

📝 Points essentiels

• Pour modéliser une évolution à taux constant, on identifie la valeur initiale, transforme le taux en coefficient multiplicateur, puis multiplie chaque terme par ce coefficient.

• Une production initiale de 2 000 pièces augmentant de 20 % par an est modélisée par une suite géométrique de raison 1,20.

💡 Astuce mémo

Même taux → même coefficient multiplicateur → suite géométrique

📖 2. Définir une suite géométrique

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation de récurrence d’une suite géométrique est $u_{n+1}=u_n\times q$.

📐 Formule — Le terme de rang n d’une suite géométrique vérifie $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

Compléments

• Pour u₁ = 2 000 et q = 1,20, on obtient $u_5=2\,000\times1{,}20^4$.

💡 Astuce mémo

Une suite comme une chaîne où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par le même nombre

📖 3. Calculer un terme

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₁ et de raison q, le terme de rang n est $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

• Pour déterminer une raison à partir de deux termes consécutifs, on divise le terme suivant par le terme précédent, donc $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque uₙ est non nul.

Compléments

• Si u₁ = 12 et q = 2, alors u₂ = 24, u₃ = 48 et u₅ = 192.

💡 Astuce mémo

Premier terme → raison → puissance → terme recherché

📖 4. Relier taux et raison

★ À maîtriser

📐 Formule — Une augmentation de t % correspond à la raison $q=1+\frac{t}{100}$.

📐 Formule — Une diminution de t % correspond à la raison $q=1-\frac{t}{100}$.

Compléments

• Un stock qui diminue de 8 % chaque mois est modélisé par la relation $u_{n+1}=0{,}92\times u_n$.

💡 Astuce mémo

Augmentation : 1 + t/100 ; diminution : 1 − t/100

📖 5. Étudier le sens de variation

📝 Points essentiels

• Si q > 1 et que le premier terme est positif, la suite est croissante.

• Si q = 1, la suite est constante.

• Si 0 < q < 1 et que le premier terme est positif, la suite est décroissante.

💡 Astuce mémo

q > 1 : croissance ; q = 1 : constance ; 0 < q < 1 : décroissance

📖 6. Additionner les termes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour q ≠ 1, la somme des n premiers termes d’une suite géométrique est $S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$.

Compléments

• Pour u₁ = 100 et q = 1,10, la somme des cinq premiers termes est environ 610,51.

• Dans le programme de terminale professionnelle, la formule de la somme n’est pas exigée par cœur et peut être calculée avec une calculatrice ou un tableur.

📊 Tableaux de synthèse

Raison et sens de variation