Fiche de révision : Suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définitions des suites
2. Définition d’une suite géométrique
3. Relations de récurrence
4. Expression explicite des termes
5. Reconnaître une suite géométrique
6. Somme de termes consécutifs
7. Applications aux évolutions
8. Moyenne géométrique

📖 1. Définitions des suites

★ À maîtriser

📌 Une suite est définie explicitement lorsque chaque terme s’écrit en fonction de son rang n, tandis qu’une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme se calcule à partir du terme précédent.

Compléments

• Pour une suite définie par récurrence avec $u_0=3$ et $u_{n+1}=-2u_n+1$, le calcul successif donne $u_1=-5$, $u_2=11$ et $u_3=-21$.

• Pour la suite définie par $u_n=-5+7n$, on obtient $u_0=-5$, $u_1=2$, $u_2=9$ et $u_6=37$.

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct ; récurrence : terme après terme

📖 2. Définition d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q\times u_n$.

Compléments

• Les suites 2, 6, 18, 54 et 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 0,5 sont géométriques, de raisons respectives 3 et 0,5.

💡 Astuce mémo

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par la même raison q

📖 3. Relations de récurrence

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la pression atmosphérique diminuant de 1,25 % tous les 100 mètres, la relation est $P_{n+1}=0{,}9875P_n$, avec $P_0=1013$ hectopascals.

Compléments

📐 Formule — Pour un capital placé à 3 %, la relation de récurrence est $U_{n+1}=1{,}03U_n$.

💡 Astuce mémo

Multiplication constante → suite géométrique

📖 4. Expression explicite des termes

★ À maîtriser

📐 Formule — Si le premier terme est $u_0$, alors le terme général est $u_n=u_0\times q^n$.

Compléments

• Pour une suite de premier terme $u_0=30000$ et de raison $q=1{,}1$, on a $u_n=30000\times1{,}1^n$ et $u_{10}=77812$.

💡 Astuce mémo

u₀ → qⁿ ; u₁ → qⁿ⁻¹

📖 5. Reconnaître une suite géométrique

★ À maîtriser

• Pour reconnaître une suite géométrique à partir de ses termes, on calcule les quotients successifs $u_{n+1}/u_n$ et on vérifie qu’ils sont tous égaux.

Compléments

• Les nombres 3, 4,5, 6, 9 ne sont pas les premiers termes d’une suite géométrique, car les quotients successifs 1,5 et 4/3 sont différents.

💡 Astuce mémo

QÉ : Quotients Égaux

📖 6. Somme de termes consécutifs

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de n+1 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q différente de 1 est $S=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📌 Lorsque la raison vaut 1, la suite est constante et la somme vaut le premier terme multiplié par le nombre de termes.

Compléments

• Pour une suite de premier terme $u_0=4$ et de raison $q=2$, la somme $u_8+u_9+\cdots+u_{21}$ comporte 14 termes et vaut 16 776 192.

📖 7. Applications aux évolutions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux augmentations successives de 30 % et 15 %, le coefficient moyen k vérifie $k^2=1{,}3\times1{,}15$ et vaut environ 1,2227, soit un taux moyen de 22,27 %.

📌 Une hausse de taux t se traduit par une multiplication par le coefficient $1+t$, tandis qu’une baisse de taux t se traduit par une multiplication par $1-t$.

• Avec 1 200 accouchements en 2024 et une hausse annuelle de 3 %, la suite vérifie $u_{n+1}=1{,}03u_n$, $u_0=1200$ et $u_n=1200\times1{,}03^n$.

Compléments

• Selon ce modèle, le nombre d’accouchements en 2030 est $u_6=1200\times1{,}03^6\approx1433$.

• Le total des accouchements de 2024 à 2030 vaut environ 9 195, ce qui dépasse l’objectif de 8 000.

💡 Astuce mémo

Taux d’évolution → coefficient multiplicateur → suite géométrique

📖 8. Moyenne géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux nombres a et b de même signe est $\sqrt{a\times b}$.

★ À maîtriser

📌 Dans une suite géométrique à termes positifs, chaque terme est la moyenne géométrique du terme précédent et du terme suivant.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite géométrique positive, on a $\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}=u_n$.

• La moyenne géométrique de 4 et 9 est $\sqrt{4\times9}=6$.

💡 Astuce mémo

Le terme central se place entre son précédent et son suivant comme leur moyenne géométrique

📊 Tableaux de synthèse

Définitions des suites