QCM : Suites géométriques — 17 questions

Question 1

1. Quelle distinction caractérise une suite définie explicitement par rapport à une suite définie par récurrence ?

Chaque terme explicite dépend du rang, tandis que le terme récurrent dépend du précédent

Chaque terme explicite est obtenu par multiplication, tandis que le terme récurrent est obtenu par addition

Chaque terme explicite dépend du précédent, tandis que le terme récurrent dépend du rang

Chaque terme explicite commence par zéro, tandis que le terme récurrent commence par une valeur positive

Explication

Une formule explicite donne directement un terme à partir de son rang, alors qu’une relation de récurrence utilise le terme précédent. La multiplication ou l’addition ne suffisent pas à distinguer ces deux modes de définition.

Answer

Chaque terme explicite dépend du rang, tandis que le terme récurrent dépend du précédent

Question 2

2. Pour la suite définie par $u_n=-5+7n$ , quelle est la valeur de $u_6$ ?

42

32

49

37

Explication

En remplaçant le rang par $6$ , on obtient $u_6=-5+7\times6=37$ . La valeur $42$ correspondrait à oublier le terme constant $-5$ .

Answer

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante

Answer

$$u_{n+1}=q\times u_n$$

Answer

$$P_{n+1}=0,9875P_n$$

Answer

$$U_{n+1}=1,03U_n$$

Answer

$$u_n=u_0\times q^n$$

Answer

Environ 77812

Answer

Calculer les quotients successifs et vérifier qu’ils sont égaux

Answer

Les quotients successifs ne sont pas tous égaux

Answer

$$S=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Answer

Multiplier 7 par 12, soit 84

Answer

$$1200\times1,03^6$$

Answer

$$\sqrt{a\times b}$$

Answer

$$u_n=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$$

Question 3

3. Quelle propriété définit une suite géométrique ?

Chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent une constante

Chaque terme s’obtient en soustrayant son rang du terme précédent

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante

Chaque terme s’obtient en divisant le précédent par son rang

Explication

Dans une suite géométrique, le passage d’un terme au suivant se fait par multiplication par une même constante appelée raison. Une différence constante caractérise plutôt une suite arithmétique.

Question 4

4. Quelle relation vérifie une suite géométrique de raison $q$ ?

u_{n+1}=\frac{u_n}{q}

u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=q\times u_n

u_{n+1}=u_n-q

Explication

La relation de récurrence d’une suite géométrique est $u_{n+1}=q\times u_n$ , car la raison est un facteur multiplicatif. La relation $u_{n+1}=u_n+q$ utilise une différence constante et correspond à une autre structure de suite.

Question 5

5. La pression atmosphérique diminue de 1,25 % tous les 100 mètres et vaut $P_0=1013$ hectopascals au niveau initial. Quelle relation de récurrence convient ?

P_{n+1}=P_n-1,25

P_{n+1}=0,9875P_n

P_{n+1}=1,0125P_n

P_{n+1}=0,125P_n

Explication

Une diminution de 1,25 % revient à multiplier la pression par $1-0,0125=0,9875$ , d’où $P_{n+1}=0,9875P_n$ . Le facteur $1,0125$ représenterait une augmentation de 1,25 %.

Question 6

6. Un capital placé à 3 % est modélisé par une suite $U_n$ . Quelle relation de récurrence décrit son évolution ?

U_{n+1}=1,03U_n

U_{n+1}=U_n+3

U_{n+1}=3U_n

U_{n+1}=0,97U_n

Explication

Une hausse de 3 % consiste à multiplier le capital par $1+0,03=1,03$ , ce qui donne $U_{n+1}=1,03U_n$ . Le facteur $0,97$ correspondrait à une diminution de 3 %.

Question 7

7. Pour une suite géométrique dont le premier terme est $u_0$ et la raison $q$ , quelle expression donne le terme général $u_n$ ?

u_n=u_0\times q^{n-1}

u_n=u_0\times q^n

u_n=u_1\times q^n

u_n=u_0+n\times q

Explication

Lorsque l’indice de départ est 0, l’exposant associé au terme $u_n$ est $n$ . L’expression avec l’exposant $n-1$ correspond à une suite exprimée à partir de $u_1$ , et non de $u_0$ .

Question 8

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=30000$ et $q=1,1$ . Quelle valeur approchée obtient-on pour $u_{10}$ ?

Environ 60000

Environ 33000

Environ 77812

Environ 90000

Explication

On applique $u_n=30000\times1,1^n$ , ce qui donne $u_{10}\approx77812$ . La valeur 33000 correspondrait à une évolution bien plus faible que dix multiplications successives par 1,1.

Question 9

9. Comment vérifier qu’une liste de termes forme une suite géométrique ?

Calculer les différences successives et vérifier qu’elles sont égales

Comparer le premier et le dernier terme de la liste

Additionner les termes et vérifier que la somme est positive

Calculer les quotients successifs et vérifier qu’ils sont égaux

Explication

Une suite géométrique possède un quotient constant entre deux termes consécutifs, obtenu en calculant $u_{n+1}/u_n$ . Des différences constantes caractérisent plutôt une suite arithmétique.

Question 10

10. Pourquoi la liste $3,4,5,6,9$ ne forme-t-elle pas les premiers termes d’une suite géométrique ?

Les quotients successifs ne sont pas tous égaux

Le nombre de termes proposés est trop faible

Les différences successives ne sont pas toutes positives

Le premier terme est inférieur au dernier terme

Explication

Les quotients successifs comprennent notamment $4/3$ et $6/4=1,5$ , qui sont différents. Une suite géométrique exige un même quotient entre chaque paire de termes consécutifs.

Question 11

11. Quelle formule donne la somme de $n+1$ termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ , en partant de $u_0$ ?

S=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{q-1}

S=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

S=u_0\times\frac{1-q^n}{1-q}

S=u_0+n\times q^{n+1}

Explication

La somme des termes de $u_0$ à $u_n$ contient $n+1$ termes et s’écrit $u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ lorsque $q\neq1$ . L’exposant $n$ oublierait le nombre exact de termes pris en compte.

Question 12

12. Une suite géométrique a pour raison $q=1$ et pour premier terme $u_0=7$ . Comment calculer la somme de 12 termes consécutifs ?

Élever 7 à la puissance 12, soit

7^{12}

Utiliser une fraction dont le dénominateur vaut

1-q

Multiplier 7 par la raison, soit 7

Multiplier 7 par 12, soit 84

Explication

Avec $q=1$ , chaque terme vaut 7, donc la somme de 12 termes est $12\times7=84$ . La formule fractionnaire n’est pas utilisable ici, car son dénominateur $1-q$ serait nul.

Question 13

13. Quel coefficient multiplicatif traduit une baisse de taux de $t$ ?

1-t

t-1

\frac{1}{t}

1+t

Explication

Une baisse de taux $t$ transforme une valeur par multiplication par $1-t$ . Le coefficient $1+t$ correspond au contraire à une hausse de taux.

Question 14

14. Dans le modèle d’évolution annuelle de 3 % à partir de 1 200 accouchements en 2024, quelle expression donne le nombre d’accouchements en 2030 ?

1200+1,03\times6

1200\times1,03^6

1200\times1,03^5

1200\times1,03^7

Explication

L’année 2024 est associée à $u_0$ et 2030 à $u_6$ , donc $u_6=1200\times1,03^6$ . L’exposant 5 compterait une évolution de moins, tandis que les deux autres expressions ne suivent pas la relation géométrique donnée.

Question 15

15. Deux augmentations successives de 30 % et 15 % correspondent à quel taux d’augmentation moyen annuel approximatif ?

15,00 %

22,27 %

45,00 %

21,50 %

Explication

Le coefficient moyen vérifie $k^2=1,3\times1,15$ , d’où $k\approx1,2227$ et un taux moyen d’environ 22,27 %. Additionner les deux taux donne l’évolution cumulée, pas le taux moyen composé.

Question 16

16. Comment définit-on la moyenne géométrique de deux nombres de même signe $a$ et $b$ ?

\sqrt{a\times b}

a\times b

\sqrt{a+b}

\frac{a+b}{2}

Explication

La moyenne géométrique est la racine carrée du produit des deux nombres, soit $\sqrt{a\times b}$ . L’expression $\frac{a+b}{2}$ désigne la moyenne arithmétique.

Question 17

17. Dans une suite géométrique à termes positifs, quelle relation caractérise le terme central $u_n$ ?

u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}

u_n=u_{n-1}+u_{n+1}

u_n=\sqrt{u_{n-1}+u_{n+1}}

u_n=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}

Explication

Dans une suite géométrique positive, le terme central est la moyenne géométrique de ses voisins, donc $u_n=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$ . La moyenne arithmétique des voisins caractérise plutôt une suite arithmétique.

QCM : Suites géométriques — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction caractérise une suite définie explicitement par rapport à une suite définie par récurrence ?

2. Pour la suite définie par $u_n=-5+7n$ , quelle est la valeur de $u_6$ ?

3. Quelle propriété définit une suite géométrique ?

4. Quelle relation vérifie une suite géométrique de raison $q$ ?

5. La pression atmosphérique diminue de 1,25 % tous les 100 mètres et vaut $P_0=1013$ hectopascals au niveau initial. Quelle relation de récurrence convient ?

6. Un capital placé à 3 % est modélisé par une suite $U_n$ . Quelle relation de récurrence décrit son évolution ?

7. Pour une suite géométrique dont le premier terme est $u_0$ et la raison $q$ , quelle expression donne le terme général $u_n$ ?

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=30000$ et $q=1,1$ . Quelle valeur approchée obtient-on pour $u_{10}$ ?

9. Comment vérifier qu’une liste de termes forme une suite géométrique ?

10. Pourquoi la liste $3,4,5,6,9$ ne forme-t-elle pas les premiers termes d’une suite géométrique ?

11. Quelle formule donne la somme de $n+1$ termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ , en partant de $u_0$ ?

12. Une suite géométrique a pour raison $q=1$ et pour premier terme $u_0=7$ . Comment calculer la somme de 12 termes consécutifs ?

13. Quel coefficient multiplicatif traduit une baisse de taux de $t$ ?

14. Dans le modèle d’évolution annuelle de 3 % à partir de 1 200 accouchements en 2024, quelle expression donne le nombre d’accouchements en 2030 ?

15. Deux augmentations successives de 30 % et 15 % correspondent à quel taux d’augmentation moyen annuel approximatif ?

16. Comment définit-on la moyenne géométrique de deux nombres de même signe $a$ et $b$ ?

17. Dans une suite géométrique à termes positifs, quelle relation caractérise le terme central $u_n$ ?

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QCM : Suites géométriques — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction caractérise une suite définie explicitement par rapport à une suite définie par récurrence ?

2. Pour la suite définie par un=−5+7nu_n=-5+7nun​=−5+7n, quelle est la valeur de u6u_6u6​ ?

3. Quelle propriété définit une suite géométrique ?

4. Quelle relation vérifie une suite géométrique de raison qqq ?

5. La pression atmosphérique diminue de 1,25 % tous les 100 mètres et vaut P0=1013P_0=1013P0​=1013 hectopascals au niveau initial. Quelle relation de récurrence convient ?

6. Un capital placé à 3 % est modélisé par une suite UnU_nUn​. Quelle relation de récurrence décrit son évolution ?

7. Pour une suite géométrique dont le premier terme est u0u_0u0​ et la raison qqq, quelle expression donne le terme général unu_nun​ ?

8. Une suite géométrique vérifie u0=30000u_0=30000u0​=30000 et q=1,1q=1,1q=1,1. Quelle valeur approchée obtient-on pour u10u_{10}u10​ ?

9. Comment vérifier qu’une liste de termes forme une suite géométrique ?

10. Pourquoi la liste 3,4,5,6,93,4,5,6,93,4,5,6,9 ne forme-t-elle pas les premiers termes d’une suite géométrique ?

11. Quelle formule donne la somme de n+1n+1n+1 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q≠1q\neq1q=1, en partant de u0u_0u0​ ?

12. Une suite géométrique a pour raison q=1q=1q=1 et pour premier terme u0=7u_0=7u0​=7. Comment calculer la somme de 12 termes consécutifs ?

13. Quel coefficient multiplicatif traduit une baisse de taux de ttt ?

14. Dans le modèle d’évolution annuelle de 3 % à partir de 1 200 accouchements en 2024, quelle expression donne le nombre d’accouchements en 2030 ?

15. Deux augmentations successives de 30 % et 15 % correspondent à quel taux d’augmentation moyen annuel approximatif ?

16. Comment définit-on la moyenne géométrique de deux nombres de même signe aaa et bbb ?

17. Dans une suite géométrique à termes positifs, quelle relation caractérise le terme central unu_nun​ ?

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2. Pour la suite définie par $u_n=-5+7n$ , quelle est la valeur de $u_6$ ?

4. Quelle relation vérifie une suite géométrique de raison $q$ ?

5. La pression atmosphérique diminue de 1,25 % tous les 100 mètres et vaut $P_0=1013$ hectopascals au niveau initial. Quelle relation de récurrence convient ?

6. Un capital placé à 3 % est modélisé par une suite $U_n$ . Quelle relation de récurrence décrit son évolution ?

7. Pour une suite géométrique dont le premier terme est $u_0$ et la raison $q$ , quelle expression donne le terme général $u_n$ ?

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=30000$ et $q=1,1$ . Quelle valeur approchée obtient-on pour $u_{10}$ ?

10. Pourquoi la liste $3,4,5,6,9$ ne forme-t-elle pas les premiers termes d’une suite géométrique ?

11. Quelle formule donne la somme de $n+1$ termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ , en partant de $u_0$ ?

12. Une suite géométrique a pour raison $q=1$ et pour premier terme $u_0=7$ . Comment calculer la somme de 12 termes consécutifs ?

13. Quel coefficient multiplicatif traduit une baisse de taux de $t$ ?

16. Comment définit-on la moyenne géométrique de deux nombres de même signe $a$ et $b$ ?

17. Dans une suite géométrique à termes positifs, quelle relation caractérise le terme central $u_n$ ?