Fiche de révision : Suites, limites et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Récurrence et suites numériques
2. Limites des suites
3. Théorèmes de convergence
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Limites et continuité
6. Dérivation et approximation affine
7. Règles de dérivation
8. Opérations sur les fonctions dérivées
9. Dérivée et étude des variations
10. Fonctions usuelles algébriques
11. Exponentielle et logarithmes
12. Fonctions trigonométriques et réciproques
13. Primitives et calcul intégral
14. Primitives et changements de variable
15. Équations différentielles linéaires
16. Développements limités et équivalents

📖 1. Récurrence et suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Établit qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n≥n0 si P(n0) est vraie et si, pour chaque entier k≥n0, P(k) entraîne P(k+1).
• Suite réelle : Application de N dans R, notée (u_n), dont u_n est le terme d’indice n.
• Suite monotone : Lorsqu’elle est croissante ou décroissante, et strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
• Suite bornée : À la fois majorée par un réel M et minorée par un réel m.

📝 Points essentiels

• Une suite définie par récurrence simple se construit en choisissant u_0 puis en posant u_{n+1}=f(u_n), avec une partie D stable par f pour que tous les termes restent définis.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Lorsque ses termes deviennent aussi proches que l’on veut de L à partir d’un rang suffisamment grand.
• Limite infinie : Si, pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs à A à partir d’un certain rang, et elle tend vers −∞ si tous ses termes sont inférieurs à A à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• Une suite convergente possède une limite unique.

• Une suite divergente ne converge vers aucun réel ; elle peut soit n’avoir aucune limite, comme ((−1)^n), soit tendre vers +∞ ou −∞.

• Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut être divergente, comme la suite ((−1)^n).

💡 Astuce mémo

Convergence vers un réel ≠ divergence vers ±∞

📖 3. Théorèmes de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence tend vers 0.

📝 Points essentiels

• Si deux suites convergent respectivement vers L et L′ et vérifient u_n≤v_n à partir d’un certain rang, alors L≤L′.

• Le théorème des gendarmes affirme que si φ_n≤u_n≤ψ_n à partir d’un certain rang et si φ_n et ψ_n convergent vers la même limite L, alors u_n converge vers L.

• Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente.

• Deux suites adjacentes convergent et admettent la même limite.

💡 Astuce mémo

Deux gendarmes encadrent une suite pour la conduire vers sa limite

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique de raison r vérifie u_{n+1}=u_n+r et son terme général est u_n=u_0+nr.
• Suite géométrique : Une suite géométrique de raison q vérifie v_{n+1}=qv_n et son terme général est v_n=v_0q^n.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique est strictement croissante si r>0, strictement décroissante si r<0 et constante si r=0.

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

📐 Formule - Pour q≠1, la somme des termes d’une suite géométrique vérifie $S_n=\sum_{k=0}^{n}v_k=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Pour une suite géométrique, si |q|<1 alors v_n tend vers 0, si q>1 alors v_n tend vers +∞, si q≤−1 elle n’a pas de limite et si q=1 elle est constante égale à v_0.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 5. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est définie par |x|=max(x,−x), c’est-à-dire x si x≥0 et −x si x<0.
• Limite d’une fonction : Lorsque f(x) devient aussi proche que l’on veut de L lorsque x devient suffisamment proche de a, sans que f ait nécessairement besoin d’être définie en a.
• Continuité : Lorsque sa limite en a existe et vaut f(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels x et y, les inégalités triangulaires donnent $||x|-|y||\leq|x\pm y|\leq|x|+|y|$.

📌 Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de a et si g et h ont une limite commune L, alors f admet en a la limite L.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection de cet intervalle sur son image.

Compléments

📌 Les fonctions valeur absolue, polynômes, fonctions rationnelles, logarithme, exponentielle, puissances et fonctions trigonométriques sont continues sur leur ensemble de définition.

💡 Astuce mémo

Encadrement et opérations sur les limites → continuité et valeurs intermédiaires

📖 6. Dérivation et approximation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement (f(x)−f(a))/(x−a) admet une limite finie quand x tend vers a avec x≠a, cette limite étant f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre dérivé s’écrit $f'(a)=\lim_{x\to a,\ x\neq a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Une fonction dérivable en a est continue en a, mais une fonction continue en a n’est pas nécessairement dérivable en a.

Compléments

📐 Formule - Une fonction est dérivable en a si et seulement s’il existe m∈R et une fonction ε tendant vers 0 en a tels que $f(x)=f(a)+m(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)$, avec m=f′(a).

💡 Astuce mémo

Une corde qui se rapproche du point devient la tangente

📖 7. Règles de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v, on a $(u+\lambda v)'=u'+\lambda v'$ et $(uv)'=u'v+uv'$.

📐 Formule - Si v(a)≠0, alors $(1/v)'=-v'/v^2$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$.

📐 Formule - La dérivée d’une composée vérifie $(f\circ u)'=u'\times(f'\circ u)$.

📌 Une fonction dérivable sur un intervalle est constante si et seulement si sa dérivée est nulle partout sur cet intervalle.

📌 Une fonction dérivable sur un intervalle est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle partout, et elle est décroissante si et seulement si sa dérivée est négative ou nulle partout.

Compléments

📐 Formule - Si f est dérivable en a, f′(a)≠0 et possède une réciproque dérivable, alors $(f^{-1})'(f(a))=1/f'(a)$.

📖 8. Opérations sur les fonctions dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une somme pondérée vérifie $(u+\lambda v)'=u'+\lambda v'$ et celle d’un produit vérifie $(uv)'=u'v+uv'.$

📐 Formule - Si $v$ ne s’annule pas, alors $(1/v)'=-v'/v^2$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2.$

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction réciproque, si $f'(a)\ne0$ et $b=f(a)$, alors $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)=1/f'(f^{-1}(b)).$

💡 Astuce mémo

Somme-produit, inverse-quotient, composée, réciproque

📖 9. Dérivée et étude des variations

★ À maîtriser

• 🔄 L’étude d’une fonction suit les étapes suivantes:
  1. Déterminer le domaine
  2. Réduire l’intervalle par symétries
  3. Calculer les limites aux bornes
  4. Étudier le signe de la dérivée et les variations
  5. Rechercher les branches infinies
  6. Tracer la courbe

Compléments

📌 Si $f(x)$ tend vers une valeur réelle $c$ quand $x$ tend vers l’infini, la courbe admet l’asymptote horizontale $y=c$ ; si $f(x)$ tend vers l’infini quand $x$ tend vers une valeur réelle $\omega$, elle admet l’asymptote verticale $x=\omega$.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations de la fonction

📖 10. Fonctions usuelles algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : une fonction définie sur R par $f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k.$
• Fonction rationnelle : un quotient $f=P/Q$ de deux fonctions polynômes, avec $Q$ non nulle, défini sur les réels tels que $Q(x)\ne0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme de degré $n$, on a $f'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}$ et une primitive est $F(x)=\sum_{k=0}^{n}a_k\frac{x^{k+1}}{k+1}+c.$

Compléments

• La valeur absolue vérifie $|xy|=|x||y|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ et $||x|-|y||\le |x\pm y|\le |x|+|y|$.

💡 Astuce mémo

Polynôme défini sur R, rationnelle excluant les zéros du dénominateur

📖 11. Exponentielle et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : l’unique fonction dérivable sur R vérifiant $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1.

• Logarithme népérien : la fonction réciproque de l’exponentielle, définie de $\mathbb R_+^*$ vers R, et vérifie $\ln'(x)=1/x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y),$ et pour toute fonction dérivable $u$, $(e^u)'=u'e^u.$

📐 Formule - Pour $x,y>0$, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),$ et pour toute fonction dérivable non nulle $u$, $(\ln|u|)'=u'/u.$

📐 Formule - Pour $a>0$ et $a\ne1$, l’exponentielle de base $a$ est définie par $a^x=e^{x\ln(a)}$ et son logarithme vérifie $\log_a(x)=\ln(x)/\ln(a).$

Compléments

• La constante d’Euler-Néper vaut $e=\exp(1)\simeq 2.718$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle transforme les sommes en produits, le logarithme les produits en sommes

📖 12. Fonctions trigonométriques et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions trigonométriques : Sur le cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un angle sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point associé, et vérifient $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$.

★ À maîtriser

• Les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques, tandis que la tangente est définie par $\tan(\theta)=\sin(\theta)/\cos(\theta)$ et est $\pi$-périodique.

• Les dérivées trigonométriques vérifient $(\cos)'=-\sin$, $(\sin)'=\cos$ et $(\tan)'=1/\cos^2=1+\tan^2$.

📌 Les restrictions de cosinus sur $[0,\pi]$, de sinus sur $[-\pi/2,\pi/2]$ et de tangente sur $]-\pi/2,\pi/2[$ sont bijectives et définissent respectivement arccos, arcsin et arctan.

• Sur leurs domaines de dérivabilité, $\operatorname{arccos}'(x)=-1/\sqrt{1-x^2}$, $\operatorname{arcsin}'(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ et $\operatorname{arctan}'(x)=1/(1+x^2)$.

Compléments

• La tangente est définie sur $\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi;k\in\mathbb Z\}$, tandis que la cotangente est définie sur $\mathbb R\setminus\{k\pi;k\in\mathbb Z\}$.

• Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$.

💡 Astuce mémo

Le cercle trigonométrique relie cosinus, sinus et tangente

📖 13. Primitives et calcul intégral

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : une fonction dérivable $F$ sur $I$ telle que $F'=f.

★ À maîtriser

📌 Si une fonction possède une primitive $F$ sur un intervalle, toutes ses primitives sont de la forme $F+c$, où $c$ est une constante réelle.

📐 Formule - Pour une fonction continue et une primitive $F$, l’intégrale vérifie $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

📐 Formule - L’intégration par parties donne $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt.$

📐 Formule - Le changement de variable vérifie $\int_\alpha^\beta f(u(t))u'(t)\,dt=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}f(x)\,dx.$

Compléments

📐 Formule - L’intégrale vérifie la relation de Chasles $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ et la linéarité $\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g.$

💡 Astuce mémo

Primitive → intégrale → intégration par parties ou changement de variable

📖 14. Primitives et changements de variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dont la dérivée vaut f sur cet intervalle, la notation $\int f(x)\,dx$ désignant une primitive quelconque.

★ À maîtriser

• Pour calculer $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$, le changement de variable $x=\sin(t)$ transforme l’intégrale en $\int_0^{\pi/2}\cos^2(t)\,dt$, car $\cos(t)\geq 0$ sur $[0,\pi/2]$, puis donne le résultat $\frac{\pi}{4}$.

• Les primitives usuelles comprennent $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|$, $\int\cos(x)\,dx=\sin(x)$, $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan(x)$, $\int e^{mx}\,dx=\frac{1}{m}e^{mx}$ pour $m\neq0$ et $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin(x)$.

Compléments

• Le changement de variable $t=\frac{x}{\sqrt{5}}$ permet de calculer $\int_0^1\frac{dx}{5+x^2}$ et conduit à $\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

💡 Astuce mémo

Changer la variable, intégrer, revenir aux primitives usuelles

📖 15. Équations différentielles linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire : Équation $y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$ sur un intervalle I, où a et b sont continues.
• Équation caractéristique : Pour l’équation homogène du second ordre à coefficients constants $ay''+by'+cy=0$, l’équation $ar^2+br+c=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les solutions de $y'=ay$ sont $y(t)=ke^{at}$, où k est une constante réelle.

📐 Formule - Pour $a\neq0$, les solutions de $y'+ay=b$ sont $y(t)=ke^{-at}+\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Si A est une primitive de a sur I, les solutions de l’équation homogène $y'+a(t)y=0$ sont $y(t)=ke^{-A(t)}$.

• Toute solution de l’équation complète est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène, et une condition initiale $f(t_0)=y_0$ détermine une solution unique.

• Si l’équation caractéristique a deux racines distinctes r1 et r2, les solutions sont $y(t)=\lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$.

• Si l’équation caractéristique a une racine double r0, les solutions sont $y(t)=\lambda e^{r_0t}+\mu te^{r_0t}$.

• Si les racines sont complexes conjuguées $r\pm i\omega$, les solutions réelles sont $y(t)=ke^{rt}\cos(\omega t)+\ell e^{rt}\sin(\omega t)$.

Compléments

• La variation de la constante recherche une solution particulière sous la forme $y_P(t)=k(t)e^{-A(t)}$, puis détermine k par $k'(t)=e^{A(t)}b(t)$.

💡 Astuce mémo

Équation homogène → solution générale ; solution particulière → solution complète

📖 16. Développements limités et équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Petit o : Écrire $f(x)=o_{x\to a}(g(x))$ signifie que f est négligeable devant g au voisinage de a, c’est-à-dire $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ lorsque g ne s’annule pas près de a.
• Développement limité : Une fonction f admet un développement limité en a à l’ordre n s’il existe un polynôme P de degré au plus n tel que $f(x)=P(x)+o_{x\to a}((x-a)^n)$.
• Développement asymptotique : Développement de la fonction $x\mapsto f(1/x)$ en 0+ à l’ordre n.

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule de Taylor-Young donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o_{x\to a}((x-a)^n)$ pour une fonction n fois dérivable au voisinage de a.

• Les développements limités usuels en 0 comprennent $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Compléments

• Les opérations citées sur les développements limités sont:

  • La somme
  • Le produit
  • La composition
  • Le quotient
  • La primitive

• Au voisinage de 0, le développement limité de tan(x)−sin(x) donne $\tan(x)-\sin(x)=\frac{x^3}{2}+o(x^3)$, donc $\tan(x)-\sin(x)\sim_{x\to0}\frac{x^3}{2}$.

💡 Astuce mémo

Petit o : rapport → 0 ; équivalence : rapport → 1

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques

Fonctions trigonométriques réciproques