Fiche de révision : Limites, fonction inverse et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Notion de limite
2. Limites à l’infini
3. Limites et asymptotes graphiques
4. Fonction inverse et hyperbole
5. Dérivée, tangente et variations
6. Dérivation des fonctions quotients
7. Applications aux coûts

📖 1. Notion de limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : Pour toute valeur a appartenant à l’ensemble de définition d’une fonction f, on a $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

📝 Points essentiels

• Lorsque x tend vers 5, la fonction 2x+1 tend vers 11, soit $\lim_{x\to5}(2x+1)=11$.

💡 Astuce mémo

x se rapproche d’une valeur → f(x) se rapproche de sa limite

📖 2. Limites à l’infini

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour la fonction carrée, $\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Une courbe part vers l’infini sans borne

📖 3. Limites et asymptotes graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote : Droite dont une courbe s’approche de plus en plus sans jamais l’atteindre.

📝 Points essentiels

📌 Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$, alors la courbe de f admet l’asymptote horizontale d’équation y=a.

📌 Si $\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to b}f(x)=-\infty$, alors la courbe de f admet l’asymptote verticale d’équation x=b.

💡 Astuce mémo

Limite finie → asymptote horizontale ; limite infinie → asymptote verticale

📖 4. Fonction inverse et hyperbole

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Fonction définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=\frac1x$.

★ À maîtriser

• La courbe d’équation $y=\frac1x$ est une hyperbole et la fonction inverse est impaire, car $f(-x)=-f(x)$.

📐 Formule - Les limites de la fonction inverse sont $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0^+$, $\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0^-$, $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ et $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$.

Compléments

📌 La courbe de la fonction inverse admet les axes d’équations y=0 et x=0 comme asymptotes horizontale et verticale respectivement.

💡 Astuce mémo

x>0 donne 1/x>0, tandis que x<0 donne 1/x<0

📖 5. Dérivée, tangente et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : Si f est dérivable en x₀, sa courbe admet en x₀ une tangente de coefficient directeur f′(x₀), d’équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer une tangente en x₀, on calcule f(x₀), on détermine f′(x) puis f′(x₀), et on remplace ces valeurs dans l’équation de la tangente.

📌 Sur un intervalle I, f′(x)≥0 équivaut à f croissante, f′(x)<0 équivaut à f strictement décroissante, et f′(x)=0 équivaut à f constante.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → sens de variation de f

📖 6. Dérivation des fonctions quotients

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction inverse est dérivable sur ℝ* et vérifie $f'(x)=-\frac1{x^2}$ pour x≠0.

📌 La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[, mais on ne peut pas dire qu’elle est strictement décroissante sur ℝ*.

Compléments

📐 Formule - Si f(x)=u(x)v(x), alors $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → signe de f′ → variations

📖 7. Applications aux coûts

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f(x)=1/u(x), avec u non nulle, alors $f'(x)=-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}$.

📌 Pour étudier les variations d’une fonction quotient, il faut déterminer son domaine, calculer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée puis en déduire les variations.

Compléments

• Pour $f(x)=\frac1{2x-5}$, le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{\frac52\}$, la dérivée est $f'(x)=-\frac2{(2x-5)^2}$, et f est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞;5/2[ et ]5/2;+∞[.

💡 Astuce mémo

Coût moyen minimal → coût moyen égal au coût marginal

📊 Tableaux de synthèse

Limites et asymptotes