Fiche de révision : Logique et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Connecteurs logiques et vérité
2. Quantificateurs et méthodes de preuve
3. Preuve par récurrence
4. Ordres et choix
5. Identités remarquables de puissance

📖 1. Connecteurs logiques et vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies
• Disjonction : vraie si et seulement si au moins une des propositions p et q est vraie

★ À maîtriser

📌 L'implication p ⇒ q est fausse dans le seul cas où p est vraie et q est fausse.

• Les lois de De Morgan sont $\neg(p \land q) \Leftrightarrow (\neg p \lor \neg q)$ et $\neg(p \lor q) \Leftrightarrow (\neg p \land \neg q)$.

Compléments

• L'implication vérifie $p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg p \lor q$.

💡 Astuce mémo

Conjonction = tous vrais ; disjonction = au moins un vrai.

📖 2. Quantificateurs et méthodes de preuve

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Les symboles ∀ et ∃ signifient respectivement « pour tout » et « il existe »

★ À maîtriser

• La négation d'une proposition universelle vérifie $\neg(\forall x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in E,\ \neg P(x)$.

• La négation d'une proposition existentielle vérifie $\neg(\exists x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \forall x \in E,\ \neg P(x)$.

• Les méthodes de preuve présentées sont:

  • la disjonction des cas
  • la déduction
  • la contraposition
  • le raisonnement par l'absurde

Compléments

• La contraposition repose sur l'équivalence $p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \Rightarrow \neg p$.

💡 Astuce mémo

Cas → déduction → contraposition → absurde.

📖 3. Preuve par récurrence

★ À maîtriser

• Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n₀ par récurrence, il faut établir l'initialisation P(n₀), puis l'hérédité P(n) ⇒ P(n + 1) pour tout n ≥ n₀.

• La récurrence forte établit, pour tout n ≥ n₀, que les propositions P(n₀), P(n₀ + 1), …, P(n) impliquent P(n + 1).

Compléments

• Le cours demande notamment de prouver par une méthode appropriée que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un facteur premier.

• Le cours propose également de compléter puis de prouver une formule donnant la somme des entiers de 1 à n.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 4. Ordres et choix

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d'ordres, ou permutations, de k éléments est $k! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k-1)k$.

📐 Formule - Le nombre de choix de k éléments parmi n éléments, avec k ≤ n, est $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Compléments

📐 Formule - La formule du triangle de Pascal est $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$ pour tout k ∈ {1, …, n}.

💡 Astuce mémo

Permutation : tous les éléments ordonnés ; combinaison : seuls les choix comptent.

📖 5. Identités remarquables de puissance

★ À maîtriser

📐 Formule - Le binôme de Newton donne, pour tous x, y ∈ C, $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^k y^{n-k}$ .

📐 Formule - La différence de puissances vérifie $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})$.

Compléments

• Les identités remarquables étudiées concernent les puissances n, le binôme de Newton et la factorisation d'une différence de puissances.

💡 Astuce mémo

Le binôme développe une somme ; la différence de puissances se factorise.