Fiche de révision : Convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Définitions de la convergence
2. Suites de référence et propriétés
3. Opérations sur les limites
4. Critères de convergence
5. Méthodes pratiques d’étude

📖 1. Définitions de la convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Suite réelle ou complexe qui vérifie $\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow |u_n-a|<\varepsilon.$
• Divergence vers l’infini : Une suite réelle $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $\forall M\in\mathbb{N},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow u_n>M$, et elle diverge vers $-\infty$ si $\forall M\in\mathbb{N},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow u_n<-M.$

💡 Astuce mémo

Convergence : distance vers une limite ; divergence : absence de limite.

📖 2. Suites de référence et propriétés

★ À maîtriser

📐 Formule - Les suites de référence vérifient $n\to+\infty,\quad \frac1n\to0,\quad p^n\to+\infty\ \text{si }p>1,\quad q^n\to0\ \text{si }|q|<1.$

📌 La limite d’une suite est unique, qu’elle soit finie ou infinie.

📌 Toute suite convergente est bornée, c’est-à-dire qu’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},\ |u_n|\le M.$

Compléments

📌 Une suite complexe $(z_n)$ converge vers $z$ si et seulement si sa partie réelle converge vers la partie réelle de $z$ et sa partie imaginaire converge vers la partie imaginaire de $z$.

💡 Astuce mémo

Référence : n → ∞, 1/n → 0, pⁿ → ∞, qⁿ → 0.

📖 3. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• Les opérations usuelles sur les limites comprennent: le module, la somme, le produit par une constante, le produit, le quotient avec dénominateur de limite non nulle, la composition par une fonction continue

• Les formes indéterminées signalées sont $\infty-\infty,\ 0\times\infty,\ \frac{\infty}{\infty},\ \frac00,\ 1^\infty,\ \infty^0,\ 0^0.$

💡 Astuce mémo

Les opérations usuelles fonctionnent, sauf les formes indéterminées.

📖 4. Critères de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites réelles telles que $a_n\le A_n$, $(a_n)$ est croissante, $(A_n)$ est décroissante et $A_n-a_n\to0.$
• Suite de Cauchy : Suite complexe qui vérifie $\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall p,q\ge n_0,\ |u_p-u_q|\le\varepsilon.$

★ À maîtriser

• Toute suite réelle croissante et majorée converge, et toute suite réelle décroissante et minorée converge.

• Toute suite réelle croissante et non majorée diverge vers $+\infty$, tandis que toute suite réelle décroissante et non minorée diverge vers $-\infty$.

• Si, à partir d’un certain rang, $g_n\le u_n\le G_n$ et si $g_n$ et $G_n$ convergent vers $a$, alors $u_n$ converge vers $a$.

• Toute sous-suite d’une suite convergeant vers $a$ converge également vers $a$, y compris lorsque $a=+\infty$ ou $a=-\infty$.

• Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

• Une suite complexe converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy.

Compléments

📌 Le produit d’une suite tendant vers $0$ par une suite bornée tend vers $0$.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $G_n\le u_n$ et si $G_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Monotonie, comparaison, sous-suites, adjacence, Cauchy.

📖 5. Méthodes pratiques d’étude

📝 Points essentiels

• Pour étudier une suite, il faut d’abord utiliser la définition pour montrer une divergence vers $+\infty$, puis appliquer les opérations sur les limites et les critères de convergence pour étudier la convergence ou calculer la limite.

💡 Astuce mémo

Définir la limite, appliquer les opérations, puis utiliser un critère.