Convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Définitions de la convergence
2. Suites de référence et propriétés
3. Opérations sur les limites
4. Critères de convergence
5. Méthodes pratiques d’étude

📖 1. Définitions de la convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Suite réelle ou complexe qui vérifie $\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow |u_n-a|<\varepsilon.$
• Divergence vers l’infini : Une suite réelle $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $\forall M\in\mathbb{N},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow u_n>M$, et elle diverge vers $-\infty$ si $\forall M\in\mathbb{N},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ n\ge n_0\Rightarrow u_n<-M.$

💡 Astuce mémo

Convergence : distance vers une limite ; divergence : absence de limite.

📖 2. Suites de référence et propriétés

★ À maîtriser

📐 Formule - Les suites de référence vérifient $n\to+\infty,\quad \frac1n\to0,\quad p^n\to+\infty\ \text{si }p>1,\quad q^n\to0\ \text{si }|q|<1.$

📌 La limite d’une suite est unique, qu’elle soit finie ou infinie.

📌 Toute suite convergente est bornée, c’est-à-dire qu’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},\ |u_n|\le M.$

Compléments