Logique et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Connecteurs logiques et vérité
2. Quantificateurs et méthodes de preuve
3. Preuve par récurrence
4. Ordres et choix
5. Identités remarquables de puissance

📖 1. Connecteurs logiques et vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies
• Disjonction : vraie si et seulement si au moins une des propositions p et q est vraie

★ À maîtriser

📌 L'implication p ⇒ q est fausse dans le seul cas où p est vraie et q est fausse.

• Les lois de De Morgan sont $\neg(p \land q) \Leftrightarrow (\neg p \lor \neg q)$ et $\neg(p \lor q) \Leftrightarrow (\neg p \land \neg q)$.

Compléments

• L'implication vérifie $p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg p \lor q$.

💡 Astuce mémo

Conjonction = tous vrais ; disjonction = au moins un vrai.

📖 2. Quantificateurs et méthodes de preuve

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Les symboles ∀ et ∃ signifient respectivement « pour tout » et « il existe »

• La négation d'une proposition universelle vérifie $\neg(\forall x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in E,\ \neg P(x)$.

• La négation d'une proposition existentielle vérifie $\neg(\exists x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \forall x \in E,\ \neg P(x)$.