Lorsque p et q sont vraies simultanément
Explication
La conjonction exige que les deux propositions aient la valeur vraie en même temps. La disjonction, contrairement à elle, peut être vraie lorsqu’une seule des deux propositions est vraie.
Au moins une des propositions p et q est vraie
Explication
Une disjonction est vraie dès qu’au moins une de ses propositions est vraie. Exiger que les deux propositions soient vraies correspond à la conjonction.
Lorsque p est vraie et q est fausse
Explication
L’implication échoue lorsque l’hypothèse p est réalisée mais que la conclusion q ne l’est pas. Les trois autres combinaisons ne rendent pas cette implication fausse.
$$\neg(p \lor q) \Leftrightarrow (\neg p \land \neg q)$$
Explication
La négation d’une disjonction équivaut à la conjonction des négations des deux propositions. Remplacer la disjonction par une autre disjonction ne respecte pas la loi de De Morgan.
Pour tout et il existe
Explication
Le symbole affirme une propriété pour chaque élément considéré, tandis que affirme qu’au moins un élément la vérifie. Inverser ces significations change la portée logique de la proposition.
$$\exists x \in E,\ \neg P(x)$$
Explication
La négation d’une propriété universelle affirme qu’il existe au moins un élément pour lequel la propriété est fausse. Employer encore un quantificateur universel imposerait à tort que la propriété échoue pour chaque élément.
$$\forall x \in E,\ \neg P(x)$$
Explication
Nier l’existence d’un élément possédant la propriété signifie que chaque élément de l’ensemble ne la possède pas. Une affirmation existentielle de la négation serait compatible avec la présence d’autres éléments vérifiant la propriété.
Disjonction des cas, déduction, contraposition et raisonnement par l’absurde
Explication
Les méthodes citées comprennent la disjonction des cas, la déduction, la contraposition et le raisonnement par l’absurde. La récurrence, l’intégration ou l’analyse numérique ne font pas partie de cette liste précise.
Vérifier $$P(n_0)$$ puis montrer que $$P(n)$$ entraîne $$P(n+1)$$
Explication
Une récurrence commence par l’initialisation au rang , puis établit l’hérédité d’un rang au suivant. L’initialisation ne se fait pas au rang suivant et l’hérédité ne consiste pas à remonter vers le rang précédent.
Elle utilise toutes les propositions précédentes pour établir la proposition au rang suivant
Explication
La récurrence forte autorise l’utilisation de toutes les propositions déjà établies jusqu’au rang courant pour démontrer le rang suivant. La récurrence simple ne s’appuie que sur la proposition du rang immédiatement précédent.
24
Explication
Un ordre tient compte de la position de chacun des éléments, donc le nombre de permutations est . Le nombre 12 correspondrait à un autre calcul et ne prend pas correctement en compte toutes les permutations possibles.
10
Explication
Le nombre de choix est , car deux sélections qui ne diffèrent que par leur ordre sont identiques. Le nombre 20 compterait chaque paire dans ses deux ordres possibles.
$$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$
Explication
Le binôme de Newton donne . L’expression avec des signes alternés correspond au développement d’une puissance de différence, et non d’une somme.
$$\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$$
Explication
La différence de cubes suit l’identité , qui est un cas particulier de la différence de puissances. La factorisation avec concerne une somme de cubes, avec des signes alternés dans le second facteur.
Mémorisez les réponses avec 21 flashcards sur Logique et identités remarquables.
Quand la conjonction p ∧ q est-elle vraie ?
Quand p et q sont simultanément vraies.
Quand la disjonction p ∨ q est-elle vraie ?
Quand au moins une des propositions p et q est vraie.
Dans quel cas l'implication p ⇒ q est-elle fausse ?
Quand p est vraie et q est fausse.
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