QCM : Limites, fonction inverse et dérivation (16 questions)

Question 1

1. Pour une fonction définie en $a$ , quelle relation décrit sa limite lorsque $x$ tend vers $a$ ?

La limite est égale à la valeur de

a

dans la fonction.

La limite est égale à la valeur de la fonction en

a

.

La limite dépend de la tendance de

x

vers l’infini.

La limite correspond à la pente de la courbe en

a

.

Explication

Pour toute valeur $a$ appartenant à l’ensemble de définition de $f$ , la limite en $a$ vaut $f(a)$ . Une limite en un point fini ne décrit pas le comportement de la fonction lorsque $x$ devient infiniment grand.

Answer

La limite est égale à la valeur de la fonction en $$a$$.

Question 2

2. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to5}(2x+1)$ ?

9

5

11

10

Explication

En faisant tendre $x$ vers $5$ dans l’expression $2x+1$ , on obtient $2\times5+1=11$ . Le nombre $5$ indique la valeur vers laquelle tend $x$ , et non la valeur de la limite.

Answer

Elles tendent toutes deux vers $$+\infty$$.

Answer

Une droite dont la courbe s’approche de plus en plus sans l’atteindre.

Answer

L’asymptote horizontale d’équation $$y=a$$.

Answer

L’asymptote verticale d’équation $$x=b$$.

Answer

$$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Answer

Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine

Answer

$$+\infty$$

Answer

Il donne le coefficient directeur de la tangente

Answer

Calculer $$f(x_0)$$, puis $$f'(x)$$ et enfin $$f'(x_0)$$ avant d’utiliser l’équation de la tangente

Answer

La fonction $$f$$ est strictement décroissante sur $$I$$

Answer

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

Answer

Elle est strictement décroissante sur chacun des intervalles $$]−\infty;0[ $$ et $$]0;+\infty[ $$

Answer

$$f'(x)=-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}$$

Answer

Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier son signe, puis déduire les variations

Question 3

3. Que valent les limites de la fonction carrée lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ ?

Elles tendent toutes deux vers

+\infty

.

La première tend vers

-\infty

et la seconde vers

+\infty

.

La première tend vers

+\infty

et la seconde vers

-\infty

.

Elles tendent toutes deux vers

-\infty

.

Explication

Le carré d’un nombre devient arbitrairement grand lorsque sa valeur absolue augmente, quel que soit le signe de ce nombre. Ainsi, $\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty$ .

Question 4

4. Qu’est-ce qu’une asymptote pour une courbe représentative ?

Une droite passant par le sommet principal de la courbe.

Une droite dont la courbe s’approche de plus en plus sans l’atteindre.

Une droite indiquant l’axe de symétrie de la courbe.

Une droite reliant deux points remarquables de la courbe.

Explication

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche progressivement sans l’atteindre. Une droite passant par un sommet ou reliant deux points ne constitue pas nécessairement une asymptote.

Question 5

5. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

L’asymptote verticale d’équation

y=a

.

L’asymptote horizontale d’équation

x=a

.

L’asymptote verticale d’équation

x=a

.

L’asymptote horizontale d’équation

y=a

.

Explication

Une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$ indique que les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $a$ , ce qui donne la droite horizontale $y=a$ . Une équation de la forme $x=a$ décrit une droite verticale.

Question 6

6. Si $\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

L’asymptote horizontale d’équation

x=b

.

L’asymptote verticale d’équation

x=b

.

L’asymptote horizontale d’équation

y=b

.

L’asymptote verticale d’équation

y=b

.

Explication

Lorsque les valeurs de la fonction deviennent infiniment grandes au voisinage de $b$ , la courbe possède une asymptote verticale d’équation $x=b$ . La forme $y=a$ correspond plutôt à une asymptote horizontale associée à une limite à l’infini.

Question 7

7. Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse donnée par $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

[0;+\infty[

\mathbb{R}\setminus\{1\}

\mathbb{R}\setminus\{0\}

\mathbb{R}

Explication

La division par $x$ n’est pas possible lorsque $x=0$ , donc la fonction est définie sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ . L’ensemble $\mathbb{R}$ inclurait à tort la valeur interdite zéro.

Question 8

8. Quelle propriété géométrique caractérise la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

Sa courbe est symétrique par rapport à la droite

y=x

Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses

Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine

Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Explication

La fonction inverse est impaire car $f(-x)=-f(x)$ , ce qui correspond à une symétrie centrale par rapport à l’origine. Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées caractérise plutôt une fonction paire.

Question 9

9. Quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $0^+$ pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

0^-

0^+

+\infty

-\infty

Explication

Lorsque $x$ est positif et se rapproche de zéro, son inverse devient positif et augmente sans borne, donc $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ . La limite $-\infty$ correspond à l’approche de zéro par les valeurs négatives.

Question 10

10. Dans l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ , quel rôle joue $f'(x_0)$ ?

Il donne l’ordonnée du point de contact

Il donne le coefficient directeur de la tangente

Il donne l’abscisse du point de contact

Il donne la valeur de la fonction à l’origine

Explication

Le nombre $f'(x_0)$ est le coefficient directeur, donc la pente, de la tangente au point d’abscisse $x_0$ . La valeur $f(x_0)$ fournit l’ordonnée du point de contact.

Question 11

11. Quelle démarche permet de déterminer correctement la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ ?

Calculer

f(x_0)

, puis utiliser cette valeur comme coefficient directeur de la tangente

Calculer

f'(x)

, puis utiliser directement cette expression comme équation de la tangente

Calculer

f(x_0)

, puis

f'(x)

et enfin

f'(x_0)

avant d’utiliser l’équation de la tangente

Calculer

f'(x_0)

, puis remplacer

x_0

par

f(x_0)

dans l’équation de la tangente

Explication

La construction de la tangente nécessite le point de contact, obtenu avec $f(x_0)$ , et sa pente, obtenue avec $f'(x_0)$ . Utiliser $f(x_0)$ comme pente confond une valeur de fonction avec un coefficient directeur.

Question 12

12. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f'(x)<0$ pour tout $x\in I$ ?

La fonction

f

est constante sur

I

La fonction

f

est croissante sur

I

La fonction

f

est nécessairement positive sur

I

La fonction

f

est strictement décroissante sur

I

Explication

Une dérivée strictement négative sur un intervalle signifie que la fonction y est strictement décroissante. La positivité de la fonction ne se déduit pas du signe de sa dérivée.

Question 13

13. Pour $x\neq0$ , quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

f'(x)=\frac{1}{x^2}

f'(x)=-\frac{1}{x}

f'(x)=2x

Explication

La fonction inverse s’écrit $x^{-1}$ , dont la dérivée est $-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ . L’expression $2x$ est la dérivée de $x^2$ , et non celle de $\frac{1}{x}$ .

Question 14

14. Quelle affirmation décrit correctement les variations de la fonction inverse sur son domaine de définition ?

Elle est constante sur chacun des intervalles

]−\infty;0[

et

]0;+\infty[

Elle est strictement décroissante sur l’ensemble

\mathbb{R}^*

Elle est strictement décroissante sur chacun des intervalles

]−\infty;0[

et

]0;+\infty[

Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles

]−\infty;0[

et

]0;+\infty[

Explication

Comme sa dérivée $-\frac{1}{x^2}$ est négative pour tout $x\neq0$ , la fonction inverse est strictement décroissante sur chaque intervalle séparé par zéro. On ne peut pas regrouper ces deux intervalles en une décroissance sur $\mathbb{R}^*$ , car le domaine n’est pas un intervalle.

Question 15

15. Si $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u(x)\neq 0$ , quelle expression donne la dérivée de $f$ ?

f'(x)=-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}

f'(x)=\frac{1}{u'(x)}

f'(x)=-\frac{u(x)}{(u'(x))^2}

f'(x)=\frac{u'(x)}{(u(x))^2}

Explication

La dérivée d’une fonction inverse se calcule avec un signe négatif devant le quotient de $u'(x)$ par $u(x)^2$ . L’expression sans signe négatif correspond à la confusion fréquente entre l’inverse d’une fonction et une fonction constante.

Question 16

16. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction quotient ?

Calculer les limites, factoriser le numérateur, puis dresser directement le tableau de variations

Déterminer les zéros du dénominateur, comparer quelques images, puis estimer les variations

Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier son signe, puis déduire les variations

Étudier le signe du quotient, calculer les valeurs particulières, puis négliger le domaine

Explication

L’étude d’une fonction quotient suit l’ordre logique du domaine, de la dérivée, du signe de cette dérivée et de la conclusion sur les variations. Comparer quelques images ne permet pas de justifier rigoureusement les variations sur tout le domaine.

QCM : Limites, fonction inverse et dérivation (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en $a$ , quelle relation décrit sa limite lorsque $x$ tend vers $a$ ?

2. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to5}(2x+1)$ ?

3. Que valent les limites de la fonction carrée lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ ?

4. Qu’est-ce qu’une asymptote pour une courbe représentative ?

5. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

6. Si $\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

7. Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse donnée par $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

8. Quelle propriété géométrique caractérise la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

9. Quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $0^+$ pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

10. Dans l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ , quel rôle joue $f'(x_0)$ ?

11. Quelle démarche permet de déterminer correctement la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ ?

12. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f'(x)<0$ pour tout $x\in I$ ?

13. Pour $x\neq0$ , quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

14. Quelle affirmation décrit correctement les variations de la fonction inverse sur son domaine de définition ?

15. Si $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u(x)\neq 0$ , quelle expression donne la dérivée de $f$ ?

16. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction quotient ?

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QCM : Limites, fonction inverse et dérivation (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en aaa, quelle relation décrit sa limite lorsque xxx tend vers aaa ?

2. Quelle est la valeur de lim⁡x→5(2x+1)\lim_{x\to5}(2x+1)limx→5​(2x+1) ?

3. Que valent les limites de la fonction carrée lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ou vers −∞-\infty−∞ ?

4. Qu’est-ce qu’une asymptote pour une courbe représentative ?

5. Si lim⁡x→+∞f(x)=a\lim_{x\to+\infty}f(x)=alimx→+∞​f(x)=a, quelle asymptote la courbe de fff admet-elle ?

6. Si lim⁡x→bf(x)=+∞\lim_{x\to b}f(x)=+\inftylimx→b​f(x)=+∞, quelle asymptote la courbe de fff admet-elle ?

7. Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse donnée par f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ ?

8. Quelle propriété géométrique caractérise la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ ?

9. Quelle limite obtient-on lorsque xxx tend vers 0+0^+0+ pour la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ ?

10. Dans l’équation de la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse x0x_0x0​, quel rôle joue f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) ?

11. Quelle démarche permet de déterminer correctement la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse x0x_0x0​ ?

12. Sur un intervalle III, que peut-on conclure si f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 pour tout x∈Ix\in Ix∈I ?

13. Pour x≠0x\neq0x=0, quelle est la dérivée de la fonction f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ ?

14. Quelle affirmation décrit correctement les variations de la fonction inverse sur son domaine de définition ?

15. Si f(x)=1u(x)f(x)=\frac{1}{u(x)}f(x)=u(x)1​, où u(x)≠0u(x)\neq 0u(x)=0, quelle expression donne la dérivée de fff ?

16. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction quotient ?

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1. Pour une fonction définie en $a$ , quelle relation décrit sa limite lorsque $x$ tend vers $a$ ?

2. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to5}(2x+1)$ ?

3. Que valent les limites de la fonction carrée lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ ?

5. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

6. Si $\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

7. Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse donnée par $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

8. Quelle propriété géométrique caractérise la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

9. Quelle limite obtient-on lorsque $x$ tend vers $0^+$ pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

10. Dans l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ , quel rôle joue $f'(x_0)$ ?

11. Quelle démarche permet de déterminer correctement la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ ?

12. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f'(x)<0$ pour tout $x\in I$ ?

13. Pour $x\neq0$ , quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

15. Si $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u(x)\neq 0$ , quelle expression donne la dérivée de $f$ ?