QCM : Suites numériques — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la nature mathématique d’une suite numérique notée U:N→RU:\mathbb{N}\to\mathbb{R} ?

Une application de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N}
Une fonction de N\mathbb{N} vers N\mathbb{N}
Une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}
Une fonction de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R}

Une application de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel un réel, ce qui correspond à une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}. Une application ayant un autre ensemble de départ ou d’arrivée ne correspond pas à cette définition.

2. Quelle distinction caractérise une définition explicite et une définition par récurrence d’une suite ?

La définition explicite concerne les suites réelles, tandis que la récurrence concerne les suites définies sur les entiers.
La définition explicite nécessite un terme initial, tandis que la récurrence ne nécessite aucune donnée initiale.
La définition explicite relie deux termes successifs, tandis que la récurrence donne UnU_n directement en fonction de nn.
La définition explicite donne UnU_n en fonction de nn, tandis que la récurrence relie UnU_n au terme précédent.

La définition explicite donne $$U_n$$ en fonction de $$n$$, tandis que la récurrence relie $$U_n$$ au terme précédent.

Explication

Une formule explicite permet de calculer directement un terme à partir de son indice, alors qu’une relation de récurrence utilise un terme précédent. La récurrence nécessite en outre une donnée initiale pour déterminer la suite.

3. Quelles données sont nécessaires pour définir correctement une suite par récurrence ?

Un terme final et la différence entre deux termes
Une règle de passage et au moins un terme initial
Une règle de passage et la limite supposée de la suite
Une formule explicite et la raison de la suite

Une règle de passage et au moins un terme initial

Explication

Une suite récurrente est déterminée par la relation reliant les termes et par au moins une valeur initiale. Une relation seule peut être satisfaite par plusieurs suites différentes.

4. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, Un+1≥UnU_{n+1}\ge U_n
Il existe un réel mm tel que Un≥mU_n\ge m
Il existe un réel MM tel que Un≤MU_n\le M
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n

Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$U_{n+1}\ge U_n$$

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au terme qui le précède, soit Un+1≥UnU_{n+1}\ge U_n pour tout indice. Une borne supérieure ou inférieure décrit la limitation des valeurs, pas leur variation.

5. Quelle formulation exprime qu’une suite est bornée ?

Il existe une limite réelle ℓ\ell telle que Un→ℓU_n\to\ell
Pour tout nn, on a Un+1≥UnU_{n+1}\ge U_n et Un≤MU_n\le M
Pour tout nn, on a m≤Unm\le U_n et Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n
Il existe m,M∈Rm,M\in\mathbb{R} tels que, pour tout nn, m≤Un≤Mm\le U_n\le M

Il existe $$m,M\in\mathbb{R}$$ tels que, pour tout $$n$$, $$m\le U_n\le M$$

Explication

Être bornée signifie que tous les termes appartiennent à un intervalle réel fixé, compris entre une borne inférieure mm et une borne supérieure MM. La croissance, la décroissance ou la convergence sont des propriétés différentes.

6. Quelle affirmation décrit correctement une suite convergente ?

Elle est croissante et majorée, quelle que soit sa limite éventuelle.
Elle admet une limite réelle lorsque nn tend vers +∞+\infty, et cette limite est unique.
Elle reste comprise entre deux réels fixes sans qu’une limite soit nécessairement définie.
Elle possède plusieurs limites réelles selon la sous-suite considérée.

Elle admet une limite réelle lorsque $$n$$ tend vers $$+\infty$$, et cette limite est unique.

Explication

Une suite converge lorsqu’elle possède une limite réelle lorsque l’indice tend vers l’infini, et cette limite est unique. Une suite bornée ou monotone ne possède pas automatiquement plusieurs limites ni une convergence dans toutes les situations.

7. Quelle condition garantit la convergence d’une suite monotone ?

Une suite monotone converge dès qu’elle possède au moins un terme positif.
Une suite croissante doit être majorée, tandis qu’une suite décroissante doit être minorée.
Une suite croissante doit être minorée, tandis qu’une suite décroissante doit être majorée.
Une suite croissante doit être bornée inférieurement, tandis qu’une suite décroissante doit être bornée supérieurement.

Une suite croissante doit être majorée, tandis qu’une suite décroissante doit être minorée.

Explication

Le théorème de convergence monotone associe une majoration à une suite croissante et une minoration à une suite décroissante. La borne située dans le sens de la variation ne suffit pas à empêcher la suite de tendre vers l’infini.

8. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison rr ?

Un+1=UnrU_{n+1}=U_n^r
Un+1=rUnU_{n+1}=rU_n
Un+1=Un+rU_{n+1}=U_n+r
Un+1=Un+n+rU_{n+1}=U_n+n+r

$$U_{n+1}=U_n+r$$

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la constante rr au terme précédent. Une multiplication par une constante décrit plutôt le mécanisme d’une suite géométrique.

9. Comment peut-on vérifier qu’une suite est arithmétique ?

Vérifier que les termes sont tous compris entre deux bornes réelles
Vérifier que Un+1−UnU_{n+1}-U_n est constant et indépendant de nn
Vérifier que Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n} est constant et indépendant de nn
Vérifier que chaque terme est supérieur au terme précédent

Vérifier que $$U_{n+1}-U_n$$ est constant et indépendant de $$n$$

Explication

La différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à sa raison et ne dépend pas de l’indice. Un quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique, tandis que les deux autres conditions concernent la variation ou les bornes.

10. Une suite arithmétique vérifie U3=10U_3=10 et possède une raison r=2r=2. Quelle expression permet de calculer U8U_8 directement à partir de U3U_3 ?

U8=U3+(8−3)rU_8=U_3+(8-3)r
U8=U3+(3−8)rU_8=U_3+(3-8)r
U8=U3×(8−3)rU_8=U_3\times(8-3)r
U8=U3+8rU_8=U_3+8r

$$U_8=U_3+(8-3)r$$

Explication

La formule générale à partir d’un terme d’indice pp est Un=Up+(n−p)rU_n=U_p+(n-p)r, donc ici U8=U3+(8−3)rU_8=U_3+(8-3)r. L’expression U3+8rU_3+8r partirait implicitement de l’indice zéro et ne tient pas compte de l’indice de départ donné.

11. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

Vn+1=nVn+qV_{n+1}=nV_n+q
Vn+1=Vn+qV_{n+1}=V_n+q
Vn+1=Vn−qV_{n+1}=V_n-q
Vn+1=qVnV_{n+1}=qV_n

$$V_{n+1}=qV_n$$

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la constante qq. La relation additive correspond plutôt à une suite arithmétique.

12. Pour vérifier qu’une suite dont les termes sont non nuls est géométrique, quelle propriété faut-il établir ?

La différence Vn+1−VnV_{n+1}-V_n est constante
Le quotient Vnn\frac{V_n}{n} est constant
Le produit Vn+1VnV_{n+1}V_n est constant
Le rapport Vn+1Vn\frac{V_{n+1}}{V_n} est constant

Le rapport $$\frac{V_{n+1}}{V_n}$$ est constant

Explication

Une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs reste indépendant de nn. Une différence constante caractérise plutôt une suite arithmétique.

13. Une suite géométrique vérifie V3=5V_3=5 et possède une raison q=2q=2. Quelle est la valeur de V7V_7 ?

2020
160160
8080
4040

$$80$$

Explication

En utilisant la formule entre deux rangs, on obtient V7=V3q7−3=5×24=80V_7=V_3q^{7-3}=5\times2^4=80. La puissance porte sur l’écart entre les deux indices, et non sur l’indice final seul.

14. Quelle limite peut-on attribuer à une suite géométrique de premier terme V0V_0 lorsque sa raison vérifie ∣q∣<1|q|<1 ?

La limite est 00
La limite est V0V_0
La suite n’a pas de limite
La limite dépend du signe de V0V_0

La limite est $$0$$

Explication

Lorsque ∣q∣<1|q|<1, les puissances qnq^n tendent vers zéro, donc Vn=V0qnV_n=V_0q^n tend vers 00. La limite V0V_0 correspond au cas q=1q=1.

15. Si φ:N→N\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} est strictement croissante et si Vn=Uφ(n)V_n=U_{\varphi(n)}, comment appelle-t-on la suite VV ?

Une suite réciproque de UU
Une suite périodique dérivée de UU
Une suite extraite de UU
Une suite arithmétique associée à UU

Une suite extraite de $$U$$

Explication

La stricte croissance de φ\varphi sélectionne des indices dans l’ordre, et Vn=Uφ(n)V_n=U_{\varphi(n)} est donc une suite extraite. Une telle définition ne renseigne pas sur le caractère arithmétique ou périodique de VV.

16. Une suite UnU_n converge vers ℓ\ell. Que peut-on affirmer pour toute suite extraite de UnU_n ?

Elle converge vers ℓ\ell
Elle diverge si les indices sélectionnés sont espacés
Elle converge vers zéro quelle que soit la valeur de ℓ\ell
Elle converge vers une limite différente de ℓ\ell

Elle converge vers $$\ell$$

Explication

Toute suite extraite d’une suite convergente possède la même limite que la suite initiale, ici ℓ\ell. Le choix d’indices plus espacés ne modifie pas cette limite.

17. Deux suites unu_n et vnv_n sont adjacentes lorsque quelles conditions sont réunies ?

Elles ont la même monotonie et un−vnu_n-v_n est constant
Elles sont toutes deux croissantes et un+vn→0u_n+v_n\to0
L’une est croissante, l’autre décroissante, et un−vn→0u_n-v_n\to0
L’une est bornée, l’autre périodique, et leurs produits tendent vers zéro

L’une est croissante, l’autre décroissante, et $$u_n-v_n\to0$$

Explication

L’adjacence repose sur des sens de variation opposés et sur un écart qui tend vers zéro. Deux suites ayant la même monotonie ne satisfont pas cette définition générale.

18. Pourquoi deux suites adjacentes fournissent-elles un encadrement de plus en plus précis ?

Elles ont des limites différentes qui se rapprochent après chaque terme
Elles sont bornées par des constantes indépendantes de leur différence
Elles convergent vers une même limite et leur différence tend vers zéro
Elles possèdent des limites opposées dont la somme tend vers zéro

Elles convergent vers une même limite et leur différence tend vers zéro

Explication

L’adjacence entraîne la convergence des deux suites vers une limite commune, tandis que leur différence tend vers zéro. Deux suites simplement convergentes peuvent avoir des limites différentes et ne sont donc pas nécessairement adjacentes.

19. Pour quelle valeur de α\alpha la suite ln⁡(n)nα\frac{\ln(n)}{n^\alpha} tend-elle vers zéro lorsque n→+∞n\to+\infty ?

Pour toute valeur α>0\alpha>0
Pour α=0\alpha=0 uniquement
Pour toute valeur α≥1\alpha\geq 1
Pour toute valeur α<0\alpha<0

Pour toute valeur $$\alpha>0$$

Explication

Le logarithme croît moins vite que toute puissance positive, d’où lim⁡n→+∞ln⁡(n)nα=0\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n^\alpha}=0 pour α>0\alpha>0. La condition ne demande pas que α\alpha soit au moins égal à 11.

20. Que vaut lim⁡n→+∞ann!\lim_{n\to+\infty}\frac{a^n}{n!} lorsque a>1a>1 est fixé ?

+∞+\infty
La limite dépend du choix de aa
11
00

$$0$$

Explication

La factorielle croît plus vite que l’exponentielle de base fixe a>1a>1, donc ann!→0\frac{a^n}{n!}\to0. La valeur de aa modifie la vitesse de convergence, mais pas cette limite.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une application de ℕ vers ℝ.

Comment peut-on définir une suite numérique ?

Explicitement ou par récurrence.

Que signifie définir une suite explicitement ?

Exprimer U_n en fonction de n directement.

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