Flashcards : Suites numériques — 41 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Réponse

Une application de ℕ vers ℝ.

2Question

Comment peut-on définir une suite numérique ?

Réponse

Explicitement ou par récurrence.

3Question

Que signifie définir une suite explicitement ?

Réponse

Exprimer U_n en fonction de n directement.

4Question

Que signifie définir une suite par récurrence ?

Réponse

Relier U_n au terme précédent.

5Question

Comment est définie la suite $U_n=7n-4$ ?

Réponse

Explicitement par une expression en n.

6Question

Que donne la formule $U_n=7n-4$ ?

Réponse

Chaque terme directement à partir de n.

7Question

Que faut-il pour définir une suite récurrente ?

Réponse

La règle de passage et un terme initial.

8Question

Qu'impose la définition d'une suite croissante ?

Réponse

Pour tout n, $U_{n+1}\ge U_n$ .

9Question

Qu'impose la définition d'une suite bornée ?

Réponse

Il existe $m,M\in\mathbb{R}$ tels que $m\le U_n\le M$ pour tout n.

10Question

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Réponse

Elle admet une limite réelle $\ell$ quand $n\to +\infty$ .

11Question

Quelle propriété a la limite d'une suite convergente ?

Réponse

La limite est unique.

12Question

Que peut-on dire d'une suite croissante et majorée ?

Réponse

Elle converge.

13Question

Que peut-on dire d'une suite décroissante et minorée ?

Réponse

Elle converge.

14Question

Que vaut la limite d'une suite croissante non majorée ?

Réponse

Elle tend vers $+\infty$ .

15Question

Que vaut la limite d'une suite décroissante non minorée ?

Réponse

Elle tend vers $-\infty$ .

16Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Réponse

Une suite où chaque terme s'obtient en ajoutant une constante au terme précédent.

17Question

Comment prouver qu'une suite est arithmétique ?

Réponse

Vérifier que la différence $U_{n+1}-U_n$ est constante et indépendante de $n$ .

18Question

Quelle est la formule générale du terme $U_n$ d'une suite arithmétique ?

Réponse

$U_n=U_0+nr$ .

19Question

Quelle est la formule plus générale du terme $U_n$ à partir de $U_p$ ?

Réponse

$U_n=U_p+(n-p)r$ .

20Question

Quand une suite arithmétique est-elle croissante ?

Réponse

Quand la raison $r$ est strictement positive.

21Question

Quand une suite arithmétique est-elle décroissante ?

Réponse

Quand la raison $r$ est strictement négative.

22Question

Vers quoi diverge une suite arithmétique si $r>0$ ?

Réponse

Elle diverge vers $+\infty$ .

23Question

Comment calcule-t-on la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

Réponse

Par $S=\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2} \times \text{nombre de termes}$ .

24Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Réponse

Une suite où chaque terme est le précédent multiplié par une constante q.

25Question

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Réponse

Vérifier que le rapport $\frac{V_{n+1}}{V_n}$ est constant et indépendant de n.

26Question

Quelle est la formule générale du terme $V_n$ d'une suite géométrique ?

Réponse

$V_n=V_0q^n$ .

27Question

Quelle formule générale relie $V_n$ et $V_p$ dans une suite géométrique ?

Réponse

$V_n=V_pq^{n-p}$ .

28Question

Quand une suite géométrique est-elle croissante si $V_0 \neq 0$ , $q \neq 1$ et $q>0$ ?

Réponse

Lorsque $V_0(q-1)>0$ .

29Question

Que se passe-t-il pour une suite géométrique si $q<0$ ?

Réponse

Elle est alternée.

30Question

Vers quoi converge une suite géométrique si $|q|<1$ ?

Réponse

Elle converge vers 0.

31Question

Quelle est la somme de $1+x+x^2+\cdots+x^n$ pour $x \neq 1$ ?

Réponse

$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

32Question

Qu'est-ce qu'une suite extraite de $U_n$ ?

Réponse

C'est la suite $V_n = U_{\varphi(n)}$ où $\varphi$ est strictement croissante.

33Question

Que vaut la limite d'une suite extraite d'une suite convergente ?

Réponse

Elle est égale à la limite de la suite initiale.

34Question

Quand une suite $U_n$ converge-t-elle selon ses sous-suites $U_{2n}$ et $U_{2n+1}$ ?

Réponse

Si et seulement si $U_{2n}$ et $U_{2n+1}$ convergent vers la même limite.

35Question

Quelles conditions définissent deux suites adjacentes ?

Réponse

L'une est croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers zéro.

36Question

Que peut-on dire de deux suites adjacentes ?

Réponse

Elles convergent vers la même limite.

37Question

Quel rôle jouent les suites adjacentes dans l'encadrement d'une limite ?

Réponse

Elles fournissent des encadrements successifs de leur limite commune.

38Question

Quelle limite caractérise la négligeabilité de la suite logarithmique devant toute puissance positive ?

Réponse

$\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln(n)}{n^\alpha} = 0$ pour $\alpha > 0$ .

39Question

Quelle condition sur $\alpha$ garantit que $\ln(n)$ est négligeable devant $n^\alpha$ ?

Réponse

La condition est $\alpha > 0$ .

40Question

Quelle limite montre que la suite exponentielle $a^n$ est négligeable devant la factorielle $n!$ ?

Réponse

$\lim_{n\to+\infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ pour $a > 1$ .

41Question

Quelle condition sur $a$ garantit que $a^n$ est négligeable devant $n!$ ?

Réponse

La condition est $a > 1$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 20 questions sur Suites numériques.

1. Quelle est la nature mathématique d’une suite numérique notée $U:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ ?

2. Quelle distinction caractérise une définition explicite et une définition par récurrence d’une suite ?

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