Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Variation bornes et convergence
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Suites extraites et adjacentes
6. Applications aux suites

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Application de ℕ vers ℝ dont le terme général est noté U_n.

★ À maîtriser

• Pour définir correctement une suite récurrente, il faut donner la règle de passage et au moins un terme initial.

📌 Une suite peut être définie explicitement par une expression de U_n en fonction de n ou par récurrence grâce à une relation entre U_n et le terme précédent.

Compléments

• La suite définie explicitement par $U_n=7n-4$ donne directement chaque terme à partir de son indice n.

💡 Astuce mémo

Explicite : n → terme ; récurrente : terme précédent → terme suivant

📖 2. Variation bornes et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout n∈ℕ, $U_{n+1}\ge U_n$.
• Suite bornée : Suite pour laquelle il existe m,M∈ℝ tels que, pour tout n∈ℕ, $m\le U_n\le M$.
• Convergence d'une suite : Une suite est convergente si elle admet une limite réelle ℓ lorsque n tend vers +∞ ; sinon elle est divergente, et la limite d'une suite convergente est unique.

★ À maîtriser

📌 Une suite croissante et majorée converge, et une suite décroissante et minorée converge.

📌 Si U_n≤V_n≤W_n pour tout n et si U_n et W_n convergent vers la même limite ℓ, alors V_n converge vers ℓ.

Compléments

📌 Une suite croissante non majorée tend vers +∞, tandis qu'une suite décroissante non minorée tend vers −∞.

📌 Si U_n≤V_n pour tout n et si les deux suites convergent vers ℓ_1 et ℓ_2, alors ℓ_1≤ℓ_2.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s'obtient en ajoutant une constante r, appelée raison, au terme précédent : $U_{n+1}=U_n+r$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, on a $U_n=U_0+nr$ et, plus généralement, $U_n=U_p+(n-p)r$.

• Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que la différence U_{n+1}−U_n est constante et indépendante de n.

• Une suite arithmétique est croissante si r>0, décroissante si r<0 et constante si r=0.

• Une suite arithmétique diverge vers +∞ si r>0, vers −∞ si r<0 et converge vers U_0 si r=0.

Compléments

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à $S=\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}\times\text{nombre de termes}$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance par bonds constants de raison r

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q, appelée raison : $V_{n+1}=qV_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, on a $V_n=V_0q^n$ et, plus généralement, $V_n=V_pq^{n-p}$.

📐 Formule — Pour x≠1, la somme $1+x+x^2+\cdots+x^n$ vaut $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.

📌 Pour montrer qu'une suite est géométrique, il suffit de vérifier que le rapport V_{n+1}/V_n est constant et indépendant de n.

📌 Une suite géométrique converge vers 0 lorsque |q|<1, converge vers V_0 lorsque q=1 et ne converge pas lorsque q=−1.

Compléments

📌 Si V_0≠0, q≠1 et q>0, une suite géométrique est croissante lorsque V_0(q−1)>0 et décroissante sinon ; si q<0, elle est alternée.

📌 Si q<−1, une suite géométrique diverge avec oscillation de signe et valeur absolue tendant vers +∞ ; si q>1, elle tend vers +∞ ou −∞ selon le signe de V_0.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique grandit ou décroît par multiplications successives q

📖 5. Suites extraites et adjacentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite extraite : Si φ:ℕ→ℕ est strictement croissante, la suite V_n=U_{φ(n)} est une suite extraite, obtenue en sélectionnant certains termes de U_n.
• Suites adjacentes : Deux suites dont l'une est croissante, l'autre décroissante, et dont la différence tend vers 0.

★ À maîtriser

📌 Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.

📌 Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite, ce qui fournit des encadrements successifs de cette limite commune.

Compléments

📌 Une suite U_n converge si et seulement si les suites U_{2n} et U_{2n+1} convergent et ont la même limite.

💡 Astuce mémo

Extraire sélectionne des termes ; adjacentes encadrent une même limite

📖 6. Applications aux suites

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour α>0, la suite logarithmique est négligeable devant toute puissance positive : $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n^\alpha}=0$.

📐 Formule — Pour a>1, la suite exponentielle a^n est négligeable devant la factorielle n! : $\lim_{n\to+\infty}\frac{a^n}{n!}=0$.

💡 Astuce mémo

Monotonie → limite → convergence

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites arithmétiques et géométriques