Fiche de révision : Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et sommes partielles
2. Convergence et divergence
3. Opérations et séries alternées
4. Comparaison des séries positives
5. Séries géométriques et exponentielles
6. Série de Riemann et intégrale
7. Critères de convergence
8. Séries télescopiques

📖 1. Définition et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une expression de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} U_n$ associée à une suite de termes U₀, U₁, U₂, … .
• Somme partielle : $S_n=\sum_{k=0}^{n}U_k=U_0+U_1+\cdots+U_n$.

★ À maîtriser

• La série harmonique est la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$.

Compléments

📐 Formule — Pour la série de terme général Uₙ=n, la somme partielle vaut $S_n=\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Terme général → somme partielle → série

📖 2. Convergence et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série convergente : Une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles converge vers une limite S, appelée somme de la série.

★ À maîtriser

📌 Si une série converge, alors son terme général vérifie $\lim_{n\to+\infty}U_n=0$, mais la réciproque est fausse, comme le montre la série harmonique.

📌 Si le terme général Uₙ ne converge pas vers 0, alors la série $\sum U_n$ est divergente.

Compléments

• Pour la série de terme général Uₙ=1, la somme partielle est $S_n=n+1$ et la série est divergente.

💡 Astuce mémo

Sommes partielles bornées vers une limite, ou divergentes sans limite

📖 3. Opérations et séries alternées

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Lorsque la série $\sum |U_n|$ converge.

📝 Points essentiels

• Si $\sum U_n$ converge vers S et λ est réel, alors $\sum \lambda U_n$ converge vers λS.

• Si $\sum U_n$ et $\sum V_n$ convergent respectivement vers S₁ et S₂, alors $\sum(U_n\pm V_n)$ converge vers S₁±S₂.

• Une série alternée $\sum_{n\ge0}(-1)^na_n$ converge si aₙ est positive, décroissante et tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Convergence absolue implique convergence, mais pas l’inverse

📖 4. Comparaison des séries positives

📝 Points essentiels

• Pour des termes positifs tels que $0\le U_n\le V_n$, la convergence de $\sum V_n$ entraîne celle de $\sum U_n$.

• Pour des termes positifs tels que $0\le U_n\le V_n$, la divergence de $\sum U_n$ entraîne celle de $\sum V_n$.

• Si Uₙ et Vₙ sont positifs et si $\lim_{n\to\infty}\frac{U_n}{V_n}=k$ avec k non nul et fini, alors les séries $\sum U_n$ et $\sum V_n$ ont la même nature.

💡 Astuce mémo

Une série majorante convergente entraîne la convergence de la minorante

📖 5. Séries géométriques et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série géométrique : La série de raison q $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La série géométrique converge si q<1 et sa somme vaut $\sum_{k=0}^{+\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$.

📐 Formule — La série exponentielle converge pour tout réel x et vérifie $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x$.

Compléments

📐 Formule — La série géométrique dérivée première $\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}$ converge si q<1.

💡 Astuce mémo

Raison contrôlée → convergence géométrique → somme calculable

📖 6. Série de Riemann et intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Riemann : Une série à termes positifs de terme général $U_n=\frac{1}{n^\alpha}$, avec α réel.

📝 Points essentiels

📌 La série de Riemann $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ converge si α>1 et diverge si α≤1.

📌 Si f est positive et décroissante sur [1,+∞[, alors $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ et $\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$ ont la même nature.

💡 Astuce mémo

Exposant α > 1 : convergence ; α ≤ 1 : divergence

📖 7. Critères de convergence

📝 Points essentiels

• Pour une série à termes positifs, si $\ell=\lim_{n\to+\infty}\frac{U_{n+1}}{U_n}<1$, alors la série converge.

• Pour une série à termes positifs, si $\ell=\lim_{n\to+\infty}\frac{U_{n+1}}{U_n}>1$, alors la série diverge.

• Lorsque la limite du rapport d’Alembert ou de la racine de Cauchy vaut 1, le critère correspondant ne permet pas de conclure.

📐 Formule — Le critère de Cauchy utilise la limite $\ell=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{U_n}=\lim_{n\to+\infty}(U_n)^{1/n}$.

💡 Astuce mémo

Rapport et racine sous 1 concluent, égales à 1 ne concluent pas

📖 8. Séries télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série télescopique : Une série dont le terme général s’écrit $t_n=a_n-a_{n+1}$, différence de deux termes consécutifs d’une suite.

📝 Points essentiels

• Dans une série télescopique, les termes consécutifs s’annulent dans les sommes partielles, qui se réduisent finalement à deux termes.

• La série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ est télescopique et sa somme vaut 1.

💡 Astuce mémo

Les termes consécutifs s’annulent comme des dominos, laissant les extrémités

📊 Tableaux de synthèse

Critères de convergence