QCM : Suites numériques — 10 questions

Explication

La récurrence repose sur une initialisation et sur l’hérédité, c’est-à-dire l’implication de $P(n)$ vers $P(n+1)$. Vérifier quelques premiers rangs ne suffit pas à établir le passage général.

Explication

Une rédaction complète commence par l’énoncé de $P(n)$, puis vérifie le rang initial, établit l’hérédité et termine par la conclusion. Une conclusion placée avant l’hérédité ne peut pas s’appuyer sur toutes les étapes nécessaires.

Explication

Les suites de termes généraux $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n^3}$ et $\frac{1}{\sqrt n}$ tendent vers $0$. En revanche, la suite de terme général $n$ tend vers $+\infty$, ce qui décrit un comportement opposé.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que, pour tout réel $A$, les termes appartiennent à $]A,+\infty[$ à partir d’un certain rang. Devenir inférieur à tout seuil caractérise au contraire une tendance vers $-\infty$.

Explication

Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer qu'une assertion est vraie pour tout entier naturel en vérifiant d'abord sa validité pour un cas initial, puis en prouvant qu'elle implique la suivante. La réponse incorrecte décrit une autre méthode de résolution ou de calcul.

Explication

La contradiction n'est pas une étape du raisonnement par récurrence, qui consiste à établir l'assertion, l'initialiser, montrer l'hérédité, puis conclure. La contradiction est une méthode différente de démonstration.

Explication

Les opérations sur les limites permettent de calculer la limite de la somme, du produit ou du quotient de suites, à condition que ces limites existent et que l'opération ne soit pas une forme indéterminée. La comparaison entre suites et la résolution d'équations ne sont pas leur rôle principal.

Explication

Le théorème de comparaison sert à encadrer une suite entre deux autres suites, ce qui permet d'établir sa limite ou son comportement. Le raisonnement par récurrence, quant à lui, prouve qu'une propriété est vraie pour tous les n en utilisant une étape initiale et une étape d'héritage.

Explication

Lorsque deux suites adjacentes ont une différence tendant vers zéro, elles convergent vers la même limite. Si leur différence ne tendait pas vers zéro, elles pourraient ne pas partager de limite commune.

Explication

La propriété des suites adjacentes permet de conclure que deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, dont la différence tend vers zéro, convergent vers la même limite. Cela est utile pour déterminer la limite d'une suite définie par une relation de moyenne, en montrant qu'elle est encadrée par deux suites convergentes.