Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Limites finies et infinies
3. Opérations sur les limites
4. Théorèmes de comparaison
5. Suites monotones
6. Suites adjacentes et applications

📖 1. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

📌 Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une assertion P(n) est vraie pour tout n naturel en vérifiant qu’elle est vraie à un rang initial et que, pour tout n, P(n) entraîne P(n+1).

• 🔄 Une démonstration par récurrence suit quatre étapes:
  1. Énoncer l’assertion P(n)
  2. Initialiser la propriété
  3. Montrer l’hérédité
  4. Conclure

Compléments

• L’assertion « 4^n−1 est divisible par 3 » est un exemple de propriété à démontrer par récurrence, tandis que le caractère héréditaire de « 4^n+1 est divisible par 3 » ne suffit pas à garantir qu’elle soit vraie pour tout n.

💡 Astuce mémo

Assertion → initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Limites finies et infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
• Tendance vers l’infini : Une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A,+∞[ contient tous ses termes à partir d’un certain rang, et elle tend vers −∞ si tout intervalle de la forme ]−∞,A[ les contient à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

• La limite d’une suite convergente est unique.

• Les suites de termes généraux 1/n, 1/n², 1/n³ et 1/√n convergent toutes vers 0 lorsque n tend vers +∞.

Compléments

• Les suites de termes généraux n, n², n³ et √n tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Limite finie : les termes se rapprochent ; limite infinie : ils dépassent tout seuil

📖 3. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• Les formes indéterminées usuelles sont:

  • +∞−∞
  • 0×∞
  • ∞/∞
  • 0/0

• Si deux suites convergent respectivement vers ℓ et ℓ′, leur somme converge vers ℓ+ℓ′ lorsque cette opération n’est pas une forme indéterminée.

• Le produit de deux suites se traite en multipliant leurs limites lorsque le produit n’est pas une forme indéterminée.

• Le quotient de deux suites se traite en divisant leurs limites lorsque le dénominateur ne tend pas vers zéro et que le quotient n’est pas une forme indéterminée.

💡 Astuce mémo

Somme et produit se calculent souvent ; les formes indéterminées exigent une autre méthode

📖 4. Théorèmes de comparaison

★ À maîtriser

📌 Si un≤v_n à partir d’un certain rang et si u_n tend vers +∞, alors v_n tend vers +∞ ; si u_n≥v_n et si u_n tend vers −∞, alors v_n tend vers −∞.

• Pour une suite géométrique de raison q, q^n tend vers +∞ si q>1, vers 0 si −1<q<1, vers 1 si q=1, et n’a pas de limite si q≤−1.

📌 Si u_n≤w_n≤v_n à partir d’un certain rang et si u_n et v_n convergent vers la même limite ℓ, alors w_n converge vers ℓ.

Compléments

📐 Formule — Pour tout réel a supérieur ou égal à −1 et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n \ge 1+na$.

💡 Astuce mémo

La suite est encadrée entre deux gendarmes qui la conduisent vers la même limite

📖 5. Suites monotones

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée est convergente, et toute suite décroissante et minorée est convergente.

📌 Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞, et toute suite décroissante et non minorée tend vers −∞.

Compléments

📌 Si une suite croissante converge vers ℓ, alors tous ses termes vérifient u_n≤ℓ ; si elle est décroissante et converge vers ℓ, alors tous ses termes vérifient u_n≥ℓ.

• La suite définie par u_0=−1 et u_{n+1}=√(2+u_n) converge parce qu’elle est croissante et majorée par 2.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence ; monotonie sans borne → divergence infinie

📖 6. Suites adjacentes et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante, et que leur différence tend vers 0

★ À maîtriser

📌 Si (u_n) est croissante et (v_n) décroissante et si ces suites sont adjacentes, alors u_n≤v_n pour tout n, les deux suites convergent vers une même limite ℓ, et u_n≤ℓ≤v_p pour tous n et p naturels.

Compléments

• Pour établir que deux suites sont adjacentes, il faut montrer leur monotonie opposée, vérifier qu’elles sont ordonnées, puis démontrer que leur différence tend vers 0.

• Dans les suites définies par u_{n+1}=(u_n+v_n)/2 et v_{n+1}=2u_nv_n/(u_n+v_n), avec 0<b<a, les deux suites convergent vers √(ab).

💡 Astuce mémo

Une suite monte, l’autre descend, et leur écart tend vers zéro

📊 Tableaux de synthèse

Comportement des suites géométriques