Fiche de révision : Cinématique du solide indéformable

📋 Plan du Cours

1. Paramétrage et degrés de liberté
2. Angles d’Euler et rotations
3. Dérivation dans une base mobile
4. Cinématique du solide indéformable
5. Mouvements particuliers du solide
6. Composition des mouvements
7. Cinématique du contact
8. Formules et notions récapitulatives

📖 1. Paramétrage et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramètres de position : Les six paramètres de position définissent la position et l’orientation d’un solide dans l’espace.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre de degrés de liberté d’un solide est égal au nombre de paramètres de position moins le nombre d’équations de liaison : $N_{ddl}=N_{paramètres}-N_{liaisons}$.

📖 2. Angles d’Euler et rotations

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles d’Euler : ψ, θ et φ orientent une base liée au solide par rapport à une base de référence.
• Ligne des nœuds : La ligne des nœuds est l’intersection des plans O,x₀,y₀ et O,x,y, et son vecteur unitaire u est normal à z₀ et à z.

📝 Points essentiels

• 🔄 Le passage entre les repères s’effectue selon trois rotations:
  1. Précession d’angle ψ autour de z₀
  2. Nutation d’angle θ autour de u
  3. Rotation propre d’angle φ autour de z

📐 Formule — Le vecteur instantané de rotation associé aux angles d’Euler est $\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}=\dot{\psi}\,\mathbf{z}_0+\dot{\theta}\,\mathbf{u}+\dot{\varphi}\,\mathbf{z}$.

💡 Astuce mémo

Précession ψ → nutation θ → rotation propre φ

📖 3. Dérivation dans une base mobile

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de dérivation vectorielle, appelée formule de Bour, est $\left(\frac{d\mathbf{U}}{dt}\right)_{R_0}=\left(\frac{d\mathbf{U}}{dt}\right)_R+\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}\wedge\mathbf{U}$.

Compléments

📐 Formule — Pour un vecteur de base mobile, sa dérivée dans le repère de référence vérifie $\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)_{R_0}=\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}\wedge\mathbf{x}$.

💡 Astuce mémo

Base tournante → terme Ω ∧ U dans la dérivée

📖 4. Cinématique du solide indéformable

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprojectivité : Pour un solide indéformable, les projections des vitesses de deux points A et B sur leur droite AB sont égales : $\overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{V}_{A/R_0}=\overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{V}_{B/R_0}$.
• Axe instantané de rotation : L’axe instantané de rotation et de glissement est l’axe central du torseur cinématique et le lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur rotation instantané.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La relation de Varignon relie les vitesses de deux points d’un même solide par $\mathbf{V}_{B/R_0}=\mathbf{V}_{A/R_0}+\boldsymbol{\Omega}_{S/R_0}\wedge\overrightarrow{AB}$.

📐 Formule — La formule de Rivals donne l’accélération d’un point B d’un solide par $\boldsymbol{\gamma}_{B/R_0}=\boldsymbol{\gamma}_{A/R_0}+\left(\frac{d\boldsymbol{\Omega}_{S/R_0}}{dt}\right)_{R_0}\wedge\overrightarrow{AB}+\boldsymbol{\Omega}_{S/R_0}\wedge(\boldsymbol{\Omega}_{S/R_0}\wedge\overrightarrow{AB})$.

📖 5. Mouvements particuliers du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement de translation : Un solide est en translation si tous ses points ont la même vitesse : $\mathbf{V}_A=\mathbf{V}_B=\mathbf{V}$.
• Rotation autour d’un axe fixe : Un solide est en rotation autour d’un axe fixe Δ si la vitesse de chaque point appartenant à Δ est nulle.
• Mouvement général : Le mouvement général d’un solide est la composition instantanée d’une rotation autour de l’AIRG et d’une translation le long de cet axe.

📝 Points essentiels

📌 Un mouvement de translation correspond à un torseur cinématique dont le vecteur rotation est nul et dont la vitesse est V.

💡 Astuce mémo

Translation : Ω nul ; rotation fixe : vitesse nulle sur l’axe

📖 6. Composition des mouvements

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération de Coriolis : L’accélération de Coriolis est le terme $2\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}\wedge\mathbf{V}_{A/R}$ issu de la composition d’une rotation de repère et d’une vitesse relative.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse absolue est la somme de la vitesse relative et de la vitesse d’entraînement : $\mathbf{V}_{A/R_0}=\mathbf{V}_{A/R}+\mathbf{V}_{A\in R/R_0}$.

📐 Formule — La composition des accélérations s’écrit $\boldsymbol{\gamma}_{A/R_0}=\boldsymbol{\gamma}_{A/R}+\boldsymbol{\gamma}_{A\in R/R_0}+2\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}\wedge\mathbf{V}_{A/R}$.

Compléments

📐 Formule — Les vecteurs instantanés de rotation se composent selon $\boldsymbol{\Omega}_{S/R_0}=\boldsymbol{\Omega}_{S/R}+\boldsymbol{\Omega}_{R/R_0}$.

💡 Astuce mémo

Absolue = relative + entraînement ; Coriolis complète l’accélération

📖 7. Cinématique du contact

★ À maîtriser

📌 Lors d’un contact, le point géométrique I, le point I₁ lié à S₁ et le point I₂ lié à S₂ sont confondus à l’instant considéré, mais ont des trajectoires et des vitesses potentiellement différentes.

📐 Formule — La vitesse de glissement de S₁ par rapport à S₂ vaut $\mathbf{V}_g(I,S_1/S_2)=\mathbf{V}_{I\in S_1/R}-\mathbf{V}_{I\in S_2/R}$.

📌 La vitesse de glissement appartient toujours au plan tangent commun aux deux solides au point de contact.

📌 La condition de roulement sans glissement est $\mathbf{V}_g(I,S_1/S_2)=\mathbf{0}$; dans ce cas, le point I appartient à l’axe instantané de rotation.

Compléments

📌 La composante tangentielle ωT du vecteur rotation caractérise le roulement, tandis que sa composante normale ωN caractérise le pivotement autour de la normale au plan tangent.

💡 Astuce mémo

Point géométrique I ≠ points matériels I₁ et I₂

📖 8. Formules et notions récapitulatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Axoïde fixe : L’axoïde fixe est l’ensemble des positions de l’axe instantané de rotation et de glissement dans le repère fixe R₀.
• Axoïde mobile : L’axoïde mobile est l’ensemble des positions de l’axe instantané de rotation et de glissement dans le repère mobile R.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La condition de roulement sans glissement se résume à $\mathbf{V}_g(I,S_1/S_2)=\mathbf{0}$.

📊 Tableaux de synthèse

Mouvements particuliers et torseurs

Vitesses au contact