Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de définition
2. Calcul et variation des suites
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Monotonie des suites usuelles
5. Expressions explicites des suites
6. Sommes des suites numériques
7. Moyennes arithmétique et géométrique

📖 1. Définition et modes de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction dont la variable est un entier, et dont le terme de rang n se note généralement u_n plutôt que u(n).

📝 Points essentiels

📌 Une formule explicite exprime u_n en fonction de n, tandis qu’une formule de récurrence exprime u_n en fonction du terme précédent.

💡 Astuce mémo

Explicite : n donne le terme ; récurrence : le terme précédent le construit.

📖 2. Calcul et variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite dont chaque terme suivant est supérieur ou égal au terme précédent, et strictement croissante si chaque terme suivant lui est strictement supérieur.
• Suite décroissante : Suite dont chaque terme suivant est inférieur ou égal au terme précédent, et strictement décroissante si chaque terme suivant lui est strictement inférieur.

★ À maîtriser

📌 u_{n+1} désigne le terme de rang n+1, tandis que u_n+1 désigne le terme de rang n augmenté de 1.

Compléments

• Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace n dans la formule par le rang recherché.

• Pour calculer un terme d’une suite récurrente, on calcule successivement les termes précédents à partir du terme initial.

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite de raison r vérifiant, pour tout rang concerné, u_{n+1}=u_n+r.
• Suite géométrique : Suite de raison q vérifiant, pour tout rang concerné, u_{n+1}=q u_n.

📝 Points essentiels

• Pour reconnaître trois termes successifs arithmétiques, on compare les deux différences consécutives : elles doivent être égales.

• Pour reconnaître trois termes successifs géométriques, on compare les quotients de deux termes consécutifs : ils doivent être égaux.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 4. Monotonie des suites usuelles

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si r>0 et strictement décroissante si r<0.

Compléments

• Lorsque la suite arithmétique est monotone, sa variation est appelée croissance ou décroissance linéaire.

• Lorsque la suite géométrique est monotone, sa variation est appelée croissance ou décroissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

Le signe de r fixe le sens de variation arithmétique.

📖 5. Expressions explicites des suites

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_{n_0}, $u_n=u_{n_0}+(n-n_0)r$ pour tout n≥n_0.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme u_{n_0}, $u_n=u_{n_0}q^{n-n_0}$ pour tout n≥n_0.

Compléments

• Pour écrire l’expression explicite d’une suite arithmétique ou géométrique, on identifie le rang n_0 du premier terme puis on applique la formule correspondant à sa nature.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : un écart multiplié par n ; géométrique : une puissance de q.

📖 6. Sommes des suites numériques

★ À maîtriser

• La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q≠1, la somme de termes consécutifs vaut le premier terme de la somme multiplié par $\frac{1-q^{N}}{1-q}$, où N est le nombre de termes.

Compléments

📐 Formule - Pour tout n≥1, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$.

📐 Formule - Pour n entier naturel non nul et q≠1, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Pour calculer une somme arithmétique, on identifie le premier terme et la raison, on compte les termes, puis on calcule le dernier terme et applique la formule de somme.

💡 Astuce mémo

Associer le premier et le dernier terme : leur moyenne multipliée par le nombre de termes.

📖 7. Moyennes arithmétique et géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : Somme de deux nombres a et b divisée par 2.
• Moyenne géométrique : Racine carrée du produit de deux nombres a et b de même signe.

📝 Points essentiels

• La moyenne géométrique sert à calculer le taux moyen correspondant à deux évolutions successives.