Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition explicite et récurrente
2. Suites arithmétiques et raison
3. Terme général arithmétique
4. Sommes arithmétiques et applications
5. Suites géométriques et raison
6. Terme général géométrique
7. Sommes géométriques et croissance

📖 1. Définition explicite et récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite est définie explicitement lorsque son terme général s’écrit en fonction de n sous la forme $u_n=f(n)$.
• Suite récurrente : Une suite est définie par récurrence par son premier terme et une relation donnant chaque terme à partir du précédent.

★ À maîtriser

📌 Une suite explicite donne un accès direct à chaque terme par substitution dans son expression, tandis qu’une suite récurrente se calcule de proche en proche.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=3n^2-n-2$, on obtient $u_0=-2$, $u_1=0$ et $u_{10}=288$.

• Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, les trois termes suivants sont $u_1=3$, $u_2=7$ et $u_3=15$.

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct ; récurrente : calcul de proche en proche

📖 2. Suites arithmétiques et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsque chaque terme s’obtient en ajoutant une raison constante r au terme précédent, soit $u_{n+1}=u_n+r$.
• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique de deux réels a et b est $\frac{a+b}{2}$.

★ À maîtriser

📌 Trois nombres a, b et c sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si $b-a=c-b$, ce qui équivaut à $b=\frac{a+c}{2}$.

Compléments

• Dans une suite arithmétique, la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante et égale à la raison r.

• Les nombres 125, 149 et 173 sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique, car leurs écarts consécutifs valent 24.

📖 3. Terme général arithmétique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de terme initial $u_0$ et de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, le terme de rang n s’exprime à partir du terme de rang p par $u_n=u_p+(n-p)r$.

• Si le premier terme est $u_1$, le dixième terme est $u_{10}$ ; si le terme initial est $u_0$, le dixième terme est $u_9$.

• Pour $u_0=5$ et $r=7$, le terme général est $u_n=5+7n$ et le terme de rang 9 vaut 68.

📖 4. Sommes arithmétiques et applications

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique de u0 à un vaut $\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.

Compléments

• La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

• Pour une suite arithmétique de premier terme 23 et de raison 5, la somme de $u_0$ à $u_{15}$ vaut 968.

📖 5. Suites géométriques et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsque chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une raison constante q, soit $u_{n+1}=qu_n$.
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux réels a et b est $\sqrt{ab}$.

★ À maîtriser

📌 Trois nombres a, b et c sont des termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si leurs quotients consécutifs sont égaux, soit $\frac ba=\frac cb$.

Compléments

• Dans une suite géométrique, le rapport de deux termes consécutifs $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.

• La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 est géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

• La suite définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=-\frac13u_n$ est géométrique de raison $-\frac13$.

• Les termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient également $u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}$.

📖 6. Terme général géométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique de terme initial $u_0$ et de raison q, le terme général est $u_n=q^nu_0$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite géométrique, le terme de rang n s’exprime à partir du terme de rang p par $u_n=q^{n-p}u_p$.

• Pour $u_0=-4$ et $q=2$, on a $u_n=-4\times2^n$ et le onzième terme, de rang 10, vaut -4096.

📖 7. Sommes géométriques et croissance

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des termes d’une suite géométrique de u0 à un, lorsque q est différent de 1, vaut $\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Dans le modèle de croissance bactérienne, la population initiale est de 10 000 bactéries et elle augmente de 3 % par minute.

📐 Formule - La population bactérienne au bout de n minutes suit la relation $u_{n+1}=1{,}03u_n$ et s’écrit $u_n=10\,000\times1{,}03^n$.

Compléments

• La somme géométrique est le premier terme multiplié par $\frac{1-q^{N}}{1-q}$, où N est le nombre de termes et q est différent de 1.

• Au bout de 30 minutes, la population modélisée est d’environ 24 273 bactéries.

• La population atteint au moins 30 000 bactéries au bout de 38 minutes.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites arithmétiques et géométriques