Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et calcul des suites explicites
2. Suites définies par récurrence
3. Sens de variation des suites
4. Limites des suites

📖 1. Définition et calcul des suites explicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste de nombres rangés et numérotés, où chaque entier n correspond au terme uₙ de rang n, et elle se note (uₙ).
• Suite explicite : Suite définie par une formule permettant de calculer directement uₙ en fonction de n, soit uₙ = f(n) pour une fonction f définie sur [0 ; +∞[.

★ À maîtriser

📌 La notation (uₙ) désigne la suite entière, tandis que uₙ désigne le nombre qui est son terme de rang n.

• La représentation graphique d’une suite explicite place les points de coordonnées (n ; uₙ) aux abscisses entières, sans relier les points entre eux.

Compléments

• Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace n dans la formule par le rang voulu.

• Pour la suite définie par uₙ = 1/(n + 1), on a u₀ = 1, u₉ = 1/10 et uₙ₊₁ − uₙ = −1/[(n + 1)(n + 2)].

💡 Astuce mémo

(uₙ) désigne la suite ; uₙ désigne un terme.

📖 2. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente : Suite définie par un terme initial et une relation permettant de calculer chaque terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

★ À maîtriser

📌 Une relation de la forme uₙ₊₁ = f(uₙ) exprime le terme suivant en fonction du terme courant, tandis qu’une relation faisant aussi intervenir n ne dépend pas seulement de uₙ.

Compléments

• Pour calculer successivement les termes d’une suite récurrente, on applique la relation de récurrence au terme initial, puis à chaque terme obtenu.

• Pour u₀ = 5 et uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2, les premiers termes calculés sont u₁ = 4, u₂ = 7/2 et u₃ = 13/4.

• Pour représenter graphiquement une suite vérifiant uₙ₊₁ = f(uₙ), on utilise la courbe de f et la droite d’équation y = x pour construire ses termes.

📖 3. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation à partir d’un rang : Suite croissante ou décroissante lorsque l’inégalité correspondante est vérifiée pour tout n ≥ i.

★ À maîtriser

• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on en étudie le signe pour tout entier n.

📌 Si $u_{n+1}-u_n\geq 0$ pour tout entier n, la suite est croissante ; si $u_{n+1}-u_n\leq 0$ pour tout entier n, elle est décroissante.

📌 Si $u_n>0$ pour tout entier n, comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 permet de conclure : un rapport toujours supérieur ou égal à 1 implique une suite croissante, et un rapport toujours inférieur ou égal à 1 implique une suite décroissante.

Compléments

• La croissance ou la décroissance d’une suite ne peut pas être établie en vérifiant les inégalités seulement pour ses premiers termes.

📌 Une suite est strictement croissante ou strictement décroissante lorsque les inégalités définissant sa variation sont strictes.

• Pour $w_n=n^2+3$, on a $w_{n+1}-w_n=2n+1\geq0$ pour tout entier naturel n, donc la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Croissante : le terme suivant est supérieur ou égal ; décroissante : il est inférieur ou égal.

📖 4. Limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite admet pour limite $+\infty$ si ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang, ce que l’on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

★ À maîtriser

📌 Une suite qui admet une limite infinie est dite divergente, tandis qu’une suite qui admet une limite finie est dite convergente.

Compléments

• La suite définie par $u_n=n^2$ a pour limite $+\infty$.

• Pour déterminer un rang à partir duquel une suite croissante de limite infinie dépasse un réel A, on initialise $n=0$ et $u=2$, puis on augmente n de 1 et on remplace u par $4u$ tant que $u\leq A$ ; on affiche ensuite n.

• La suite définie par $u_n=(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 1 et −1 et n’a donc ni limite finie ni limite infinie.

💡 Astuce mémo

Une suite divergente s’éloigne sans borne ; une suite convergente se resserre autour d’une limite finie.