Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Suites géométriques
3. Sommes de termes consécutifs
4. Moyennes et reconnaissance des suites

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite numérique dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent une constante appelée raison r.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation de récurrence d’une suite arithmétique est $u_{n+1}=u_n+r$.

📐 Formule - Selon le terme connu, les formules explicites d’une suite arithmétique sont $u_n=u_0+nr$, $u_n=u_1+(n-1)r$ et $u_n=u_p+(n-p)r$.

Compléments

📌 Une suite arithmétique est croissante si r>0 et décroissante si r<0.

📖 2. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite numérique dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison q.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation de récurrence d’une suite géométrique est $v_{n+1}=v_nq$.

📐 Formule - Selon le terme connu, les formules explicites d’une suite géométrique sont $v_n=v_0q^n$, $v_n=v_1q^{n-1}$ et $v_n=v_pq^{n-p}$.

Compléments

📌 Pour v₀>0, une suite géométrique est croissante si q>1 et décroissante si 0<q<1 ; pour v₀<0, elle est décroissante si q>1 et croissante si 0<q<1.

📖 3. Sommes de termes consécutifs

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique de u₀ à uₙ est $\sum_{i=0}^{n}u_i=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$, soit le nombre de termes multiplié par la somme du premier et du dernier terme, puis divisé par 2.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q≠1, la somme des termes de v₀ à vₙ est $\sum_{i=0}^{n}v_i=v_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

Compléments

• Le nombre de termes de la somme allant de u₀ à uₙ est n+1.

📖 4. Moyennes et reconnaissance des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : $\frac{a+b}{2}$.
• Moyenne géométrique : $\sqrt{ab}$.

★ À maîtriser

• Pour vérifier que trois nombres sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique, on compare les différences successives ; pour une suite géométrique à termes strictement positifs, on compare les quotients successifs.

Compléments

📐 Formule - Dans une suite arithmétique, pour tout entier naturel n>0, $u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.

📐 Formule - Dans une suite géométrique, pour tout entier naturel n>0, $|v_n|=\sqrt{v_{n-1}v_{n+1}}$.

📐 Formule - Pour trois termes consécutifs strictement positifs u₀, u₁ et u₂ d’une suite géométrique, $\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_1}{u_0}=q$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique garde un écart constant ; une suite géométrique garde un quotient constant.