Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Suites arithmétiques et raison
3. Formules et variations arithmétiques
4. Suites géométriques et formules
5. Variations des suites géométriques

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels qui associe à tout entier n un nombre réel noté u_n, appelé terme de rang n ou d’indice n.

★ À maîtriser

📌 Une formule explicite exprime chaque terme en fonction de n indépendamment des termes précédents, tandis qu’une relation de récurrence obtient chaque terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Compléments

• La formule explicite $u_n=2n$ définit directement chaque terme de la suite en fonction de son rang n.

• Pour la suite définie par u_0=5 et u_{n+1}=3u_n, on obtient successivement u_1=15 et u_2=45.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : n indépendamment des précédents ; récurrence : chaque terme dépend des précédents

📖 2. Suites arithmétiques et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite pour laquelle il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, $u_{n+1}=u_n+r$ ; r est appelé la raison de la suite.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule u_{n+1}-u_n et on vérifie que cette différence est constante.

Compléments

• Pour u_n=7**-9**n, on obtient $u_{n+1}-u_n=-9$ ; la suite est donc arithmétique de raison -9.

• Pour v_n=n^2+3, on obtient $v_{n+1}-v_n=2n+1$ ; la différence n’étant pas constante, la suite n’est pas arithmétique.

💡 Astuce mémo

Différence constante entre deux termes → suite arithmétique

📖 3. Formules et variations arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, on a $u_n=u_0+nr$, $u_n=u_1+(n-1)r$ et $u_n=u_p+(n-p)r$.

📌 Une suite arithmétique de raison r est croissante si r>0 et décroissante si r<0.

Compléments

• Pour déterminer la raison d’une suite arithmétique connaissant u_5=7 et u_9=19, on soustrait les deux égalités et on obtient r=3.

• Avec u_5=7 et u_9=19, la suite arithmétique a pour premier terme u_0=-8 et son expression explicite est $u_n=3n-8$.

💡 Astuce mémo

Terme connu → raison → premier terme → expression de u_n

📖 4. Suites géométriques et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite pour laquelle il existe un nombre q tel que, pour tout entier n, $U_{n+1}=qU_n$ ; q est appelé la raison de la suite.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on calcule le rapport U_{n+1}/U_n et on vérifie qu’il est constant.

Compléments

• Pour U_n=3×5^n, on a $U_{n+1}/U_n=5$ ; la suite est géométrique de raison 5 et de premier terme U_0=3.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 5. Variations des suites géométriques

★ À maîtriser

📌 Pour une suite géométrique de premier terme non nul, si U_0>0 et q≥1, la suite est croissante, tandis que si U_0>0 et 0<q<1, elle est décroissante.

Compléments

• Pour une suite géométrique vérifiant U_4=8 et U_7=512, on obtient q=4 puis U_0=1/32.

📌 Si la raison q d’une suite géométrique est négative, la suite n’est pas monotone.

💡 Astuce mémo

Pour U₀ positif, q≥1 fait croître et 0<q<1 fait décroître ; pour U₀ négatif, les variations s’inversent

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques