Fiche de révision : Suites numériques et arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de génération
2. Représentation graphique des suites
3. Suites arithmétiques et formule explicite
4. Variations des suites
5. Sommes de termes consécutifs

📖 1. Définition et modes de génération

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté u_n.
• Suite explicite : Définie lorsque chaque terme u_n peut être calculé directement en fonction de n, sans calculer les termes précédents.
• Suite définie par récurrence : Définie lorsque son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent sont donnés.
• Rang : Dans une suite, l’entier n est appelé le rang et u_n est le terme de rang n.

📝 Points essentiels

• La suite des nombres impairs rangés dans l’ordre croissant commence par u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5 et u_3 = 7.

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct ; récurrence : retour au terme précédent.

📖 2. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une suite : Ensemble des points de coordonnées (n ; u_n) dans un repère.

★ À maîtriser

📌 La représentation graphique d’une suite est un nuage de points et non une courbe, donc les points ne doivent pas être reliés.

Compléments

• La représentation graphique d’une suite arithmétique est un nuage de points alignés.

💡 Astuce mémo

Les points se placent, mais ne se relient pas.

📖 3. Suites arithmétiques et formule explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+r$ ; r est appelé la raison de la suite.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, $u_n=u_0+nr$ pour tout entier naturel n.

Compléments

• Une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 commence par 3, 8, 13 et 18.

📖 4. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si, pour tout entier n, $u_{n+1}\geq u_n$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si, pour tout entier n, $u_{n+1}\leq u_n$.

★ À maîtriser

📌 Pour une suite arithmétique, r > 0 implique qu’elle est croissante, r = 0 qu’elle est constante et r < 0 qu’elle est décroissante.

Compléments

📌 Une suite est strictement croissante si u_{n+1} > u_n et strictement décroissante si u_{n+1} < u_n.

📌 Pour une suite à termes strictement positifs, si u_{n+1}/u_n ≥ 1 pour tout n, elle est croissante ; si u_{n+1}/u_n ≤ 1 pour tout n, elle est décroissante.

• Pour u_n = n^2+n, on a u_{n+1}−u_n = 2n+2 > 0 pour tout n naturel, donc la suite est strictement croissante.

• Pour u_n = 2^n/5^n, le quotient u_{n+1}/u_n vaut 2/5 < 1, donc la suite est strictement décroissante.

• La suite définie par u_n = (−1)^n n’est ni croissante ni décroissante.

💡 Astuce mémo

Le signe de la raison entraîne le sens de variation.

📖 5. Sommes de termes consécutifs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul n, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, la somme des termes de u_0 à u_n est $S=u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$, soit le nombre de termes multiplié par la somme du premier et du dernier terme, puis divisé par 2.

Compléments

• La somme des n premiers entiers de 1 à n est la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

• La méthode de Gauss calcule la somme des m premiers entiers en écrivant la somme dans les deux sens, en additionnant les termes correspondants, puis en divisant le total obtenu par 2.

💡 Astuce mémo

Dans la méthode de Gauss, les termes aux deux extrémités se font face et donnent toujours la même somme.