Fiche de révision : Suites numériques et bornes

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Sens de variation des suites
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Suites minorées majorées bornées
6. Méthodes pour établir une borne

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie explicitement par $u_n=f(n)$ ou par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ accompagnée de son premier terme $u_0$.

Compléments

• La représentation graphique d'une suite est l'ensemble des points $A_n(n;u_n)$.

📖 2. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite telle que, pour tout entier naturel n, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Suite telle que, pour tout entier naturel n, $u_n\geq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

📌 Le signe de $u_{n+1}-u_n$ détermine les variations : s'il est positif ou nul, la suite est croissante, et s'il est négatif ou nul, elle est décroissante.

Compléments

📌 Si tous les termes sont strictement positifs, un quotient $u_{n+1}/u_n>1$ indique une suite croissante et un quotient inférieur à 1 une suite décroissante ; si tous les termes sont strictement négatifs, l'interprétation est inversée.

• Pour étudier les variations d'une suite définie par $u_n=f(n)$, on étudie les variations de f sur $[0;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Différence positive → croissante ; différence négative → décroissante

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite vérifiant $u_{n+1}=u_n+r$, où r est un réel appelé raison de la suite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, on a $u_n=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule — La somme des termes d'une suite arithmétique vérifie $u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}$.

Compléments

📌 Une suite arithmétique est croissante si $r\geq0$ et décroissante si $r\leq0$, car $u_{n+1}-u_n=r$.

💡 Astuce mémo

Ajouter r à chaque terme → terme général → somme

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite vérifiant $u_{n+1}=u_n\times q$, où q est un réel appelé raison de la suite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique, on a $u_n=u_p\times q^{n-p}$.

📐 Formule — Si $q\neq1$, la somme géométrique vérifie $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📌 Pour une suite géométrique à termes positifs, le quotient $u_{n+1}/u_n=q$ se compare à 1 pour déterminer les variations.

💡 Astuce mémo

Multiplier par q à chaque terme → puissance → somme

📖 5. Suites minorées majorées bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\geq m$.
• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\leq M$.
• Suite bornée : Suite à la fois minorée et majorée.

💡 Astuce mémo

Minorée = plancher ; majorée = plafond ; bornée = les deux

📖 6. Méthodes pour établir une borne

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante est minorée par son premier terme et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

📌 Si, pour tout entier naturel n, $u_n-k\geq0$, alors la suite est minorée par k ; si $u_n-k\leq0$, elle est majorée par k.

Compléments

• Pour une suite définie par $u_n=f(n)$, l'étude des variations de f sur $[0;+\infty[$, notamment la recherche d'un extremum, peut établir une borne.

• Pour $u_n=\frac{2n-1}{n+2}$, la majoration par 2 se démontre en étudiant le signe de $u_n-2$.

💡 Astuce mémo

Monotonie ou signe ou extremum → borne

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites particulières