Fiche de révision : Suites numériques et calcul intégral

📋 Plan du Cours

1. Limites et fonctions monotones
2. Continuité et images d’intervalles
3. Bijectivité et équations
4. Partitions et probabilités totales
5. Variables aléatoires et lois
6. Dérivabilité et étude des fonctions
7. Notion et calcul des primitives
8. Propriétés algébriques du logarithme
9. Somme de deux carrés et puissances
10. Configurations géométriques dans le plan
11. Triangles et nombres complexes
12. Variations des suites numériques
13. Limites et convergence des suites
14. Intégrale et propriétés fondamentales
15. Calcul intégral et calcul d’aires
16. Étude des fonctions définies par intégrales
17. Ajustement linéaire par moindres carrés
18. Résolution d’équations différentielles

📖 1. Limites et fonctions monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Branche parabolique de direction OI : Une courbe admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(OI)$ lorsque $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ et que $\frac{f(x)}x$ tend vers $0$.

★ À maîtriser

• Si $\lim_{x\to a}f(x)=b$ et $\lim_{x\to b}g(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell$.

• Si une fonction est croissante et majorée par un réel $M$ sur $]a,b[$, elle admet une limite finie $\ell$ en $b$ avec $\ell\le M$.

• Si une fonction est décroissante et minorée par un réel $m$ sur $]a,b[$, elle admet une limite finie $\ell$ en $b$ avec $\ell\ge m$.

Compléments

• Si $f(1)\le f(x)\le -\frac1x+1+f(1)$ pour $x\ge1$ et si $f$ est croissante, alors sa limite $\ell$ en $+\infty$ vérifie $f(1)\le\ell\le1+f(1)$.

• Les branches paraboliques en $-\infty$ se définissent de manière analogue à celles en $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Croissante et majorée : limite ≤ majorant ; décroissante et minorée : limite ≥ minorant.

📖 2. Continuité et images d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• Prolongement par continuité : Si $a\notin D_f$ et si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, la fonction égale à $f$ sur $D_f$ et définie par $g(a)=\ell$ sur $D_f\cup\{a\}$ est continue en $a$ et s’appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

★ À maîtriser

• L’image d’un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est un intervalle ou un singleton.

• La somme, le produit, les puissances entières, la valeur absolue et, si elle ne s’annule pas, le quotient de deux fonctions continues sur $I$ sont continus sur $I$.

• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur l’ensemble $f(I)$, alors $g\circ f$ est continue sur $I$.

Compléments

• Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition :

  • les fonctions polynômes
  • les fonctions rationnelles
  • la fonction sinus
  • la fonction cosinus
  • la fonction racine carrée
  • la fonction puissance
  • la fonction valeur absolue
  • la fonction tangente

• La fonction $f(x)=\frac{\sin x}{x}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{0\}$, admet en 0 la limite 1 et se prolonge continûment en posant $g(0)=1$.

📌 Pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, l’image d’un intervalle à bornes incluses ou exclues est délimitée par les images des bornes et, aux bornes exclues, par les limites unilatérales correspondantes.

📌 Si $f$ est continue et positive sur $I$, alors $\sqrt f$ est continue sur $I$.

📖 3. Bijectivité et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènements indépendants : Deux événements A et B d’un même univers sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

★ À maîtriser

• Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.

• La réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur $I$ est continue et strictement monotone sur $f(I)$, et elle a le même sens de variation que la fonction initiale.

• Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $m$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ pour $a,b\in I$, alors l’équation $f(x)=m$ admet au moins une solution entre $a$ et $b$.

• Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ et si $m$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $f(x)=m$ admet une unique solution entre $a$ et $b$.

• Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a)f(b)<0$, alors $f(x)=0$ admet une unique solution dans $]a,b[$.

• La méthode de dichotomie encadre une solution d’une équation $f(x)=0$ en divisant successivement par deux un intervalle où les images des bornes sont de signes contraires, puis en conservant la moitié où le changement de signe subsiste.

📌 Si A et B ont des probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si $P_B(A)=P(A)$ ou $P_A(B)=P(B)$.

Compléments

• Les courbes représentatives d’une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

• Pour approcher une solution, la méthode de balayage évalue la fonction sur des points espacés d’un pas fixé jusqu’à trouver deux images de signes contraires, qui encadrent la solution.

• Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.

📌 Si A et B sont indépendants, alors leurs événements complémentaires sont également indépendants deux à deux.

💡 Astuce mémo

Continuité + stricte monotonie → bijection → solution unique.

📖 4. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Des parties B₁, B₂, …, Bₙ d’un ensemble Ω forment une partition de Ω si elles sont deux à deux disjointes et si leur réunion est Ω.
• Arbre pondéré : Un arbre de probabilités, ou arbre pondéré, est un schéma qui résume une expérience aléatoire à partir de probabilités conditionnelles.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition d’un univers Ω, alors pour tout événement A, $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)$.

Compléments

📐 Formule - Pour chaque événement Bᵢ de probabilité non nulle, $P(A\cap B_i)=P_{B_i}(A)\times P(B_i)$.

📖 5. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire sur un univers Ω est une application de Ω dans ℝ.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire X associe à chaque valeur xᵢ prise par X la probabilité P(X=xᵢ).
• Espérance mathématique : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁, …, xₙ avec les probabilités p₁, …, pₙ est $E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i p_i$.
• Loi binomiale : Le nombre X de succès d’un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes et de probabilité de succès p suit la loi binomiale B(n;p), définie par $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
• Variance : La variance d’une variable aléatoire X prenant les valeurs xᵢ avec les probabilités pᵢ est $V(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2p_i$.
• Écart type : L’écart type d’une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance, soit $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux éventualités exclusives, le succès S et l’échec contraire, de probabilités p et 1−p.
• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli consiste à répéter n≥2 fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est la fonction F définie sur ℝ par $F(x)=P(X\leq x)$.

★ À maîtriser

• Dans un schéma de Bernoulli de n épreuves et de probabilité de succès p, la probabilité d’obtenir exactement k succès est $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, pour 0≤k≤n.

Compléments

• Dans une loi de probabilité, la somme des probabilités associées à toutes les valeurs de X est égale à 1.

📌 Pour un jeu dont X représente le gain algébrique, le jeu est avantageux si E(X)>0, désavantageux si E(X)<0 et équitable si E(X)=0.

📐 Formule - Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

📖 6. Dérivabilité et étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité à gauche : Une fonction f est dérivable à gauche en x₀ lorsque le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite finie à gauche ; cette limite est f′g(x₀).
• Dérivabilité sur un intervalle : Sur un intervalle ouvert, f est dérivable si elle est dérivable en tout point ; sur [a;b], elle doit être dérivable sur ]a;b[, à droite en a et à gauche en b.
• Dérivées successives : La dérivée seconde est la dérivée de f′, et, de proche en proche, la dérivée d’ordre n est la dérivée de f⁽ⁿ⁻¹⁾ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est dérivable en x₀ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en x₀ et si ses deux nombres dérivés latéraux sont égaux.

📐 Formule - Si g est dérivable en x₀ et f est dérivable en g(x₀), alors $(f\circ g)'(x_0)=g'(x_0)f'(g(x_0))$.

📌 Si f est strictement monotone et dérivable sur un intervalle K, si y₀=f(x₀) et si f′(x₀)≠0, alors f⁻¹ est dérivable en y₀ et $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$.

📌 Si a<b, f est dérivable sur [a;b] et m≤f′(x)≤M sur cet intervalle, alors $m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)$.

• Pour la fonction h définie par h(x)=x+√|x²−1|, la droite (OI) est une asymptote à sa courbe en −∞, car limₓ→−∞ h(x)=0.

• La fonction h vérifie limₓ→+∞ h(x)=+∞ et sa courbe admet la droite d’équation y=2x comme asymptote en +∞.

• La fonction h est strictement décroissante sur ]−∞;−1[ et strictement croissante sur ]1;+∞[.

• Sur [−1;1], h est croissante sur [−1;√2/2] puis décroissante sur [√2/2;1].

Compléments

• Si le taux d’accroissement admet une limite infinie à gauche ou à droite en x₀, la courbe admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse x₀.

• La fonction racine carrée est dérivable sur ]0;+∞[ et toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ.

📐 Formule - Pour une fonction dérivable u, les règles données sont $(u^n)'=nu'u^{n-1}$, $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $(\cos u)'=-u'\sin u$, $(\sin u)'=u'\cos u$ et $(\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2u}$ lorsque cos(u)≠0.

📌 Si f est dérivable sur un intervalle I et si |f′(x)|≤M pour tout x de I, alors $|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|$ pour tous a,b de I.

• Pour la fonction f définie par f(x)=x²+x si x<0 et f(x)=√x−x si x≥0, f est continue en 0 mais non dérivable en 0 ; sa courbe a en 0 une demi-tangente gauche de pente 1 et une demi-tangente verticale à droite.

📖 7. Notion et calcul des primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dérivable sur un intervalle I telle que F′(x)=f(x) pour tout x∈I.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction f(x)=tan(πx/2) est définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1+2k\mid k\in\mathbb{Z}\}$.

• La fonction f(x)=tan(πx/2) est périodique de période 2 et impaire.

📐 Formule - Pour tout x∈D_f, la dérivée de f(x)=tan(πx/2) est $f'(x)=\frac{\pi}{2}\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)$.

• Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle.

• Si F est une primitive de f sur un intervalle I, toutes les primitives de f sur I sont de la forme F(x)+c, où c∈ℝ.

• Pour toute fonction f continue sur I, tout x₀∈I et tout réel y₀, il existe une unique primitive de f sur I qui prend la valeur y₀ en x₀.

Compléments

• La droite d’équation x=1 est une asymptote verticale à la courbe de f(x)=tan(πx/2).

• La fonction f(x)=tan(πx/2) est strictement croissante sur [0;1[.

📐 Formule - Une primitive de la fonction constante f(x)=a est $F(x)=ax+c$, où c∈ℝ.

📐 Formule - Pour r∈ℚ{−1}, une primitive de $f(x)=x^r$ est $F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1}+c$ sur les intervalles indiqués où l’expression est définie.

📌 Si U et V sont des primitives respectives de u et v sur I, alors U+V est une primitive de u+v et kU est une primitive de ku pour tout réel k.

📌 Si u et v sont dérivables et si V est une primitive de v, alors V∘u est une primitive de u′(x)v(u(x)).

📖 8. Propriétés algébriques du logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Primitive de la fonction x↦1/x sur ]0;+∞[ qui s’annule en 1.

★ À maîtriser

• Le domaine de définition de la fonction logarithme népérien est ]0;+∞[ et ln(1)=0.

📐 Formule - Pour tout x>0, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

• La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ car sa dérivée vaut $\frac{1}{x}$, qui est positive pour tout x > 0.

Compléments

📌 Pour tous réels a et b strictement positifs, $\ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ et $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

📌 Pour tout réel a > 0 et tout rationnel r, $\ln(a^r)=r\ln(a)$ ; en particulier, $\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln(a)$.

📖 9. Somme de deux carrés et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre e : L’unique réel de ]2 ; 3[ tel que $\ln(e)=1$, et il vaut environ 2,718.
• Somme de deux carrés : Un entier naturel A est la somme de deux carrés s’il existe deux entiers naturels x et y tels que $A=x^2+y^2$.

★ À maîtriser

📌 Pour a > 0 et b > 0, $\ln(a)>\ln(b)\iff a>b$ et $\ln(a)=\ln(b)\iff a=b$.

• Pour résoudre $\ln(u(x))=\ln(v(x))$ ou $\ln(u(x))\geq\ln(v(x))$, on impose d’abord $u(x)>0$ et $v(x)>0$, puis on résout respectivement $u(x)=v(x)$ ou $u(x)\geq v(x)$ sur cet ensemble.

• Pour prouver qu’une puissance d’une somme de deux carrés reste une somme de deux carrés, on pose $z=x+iy$, on établit par récurrence que $z^n=x_n+iy_n$ avec $x_n,y_n\in\mathbb{Z}$, puis on utilise $A^n=|z^n|^2=x_n^2+y_n^2$.

📌 Pour tout entier naturel A somme de deux carrés et tout entier $n\geq1$, $A^n$ est aussi une somme de deux carrés.

Compléments

• L’équation $\ln(x^2-4)=\ln(3x)$ impose x > 2 ; elle se ramène à $x^2-3x-4=0$, dont seule la racine x = 4 appartient à l’ensemble de validité.

• L’inéquation $\ln(2x+4)\geq\ln(6-2x)$ impose −2 < x < 3 et se ramène à x ≥ 1/2 ; son ensemble de solutions est [1/2 ; 3[.

• Pour tout nombre rationnel r, $\ln(e^r)=r$.

• Si $z^n=x_n+iy_n$ et $z=x+iy$ ont des coordonnées entières, alors la multiplication donne $x_{n+1}=xx_n-yy_n$ et $y_{n+1}=yx_n+xy_n$, qui sont encore des entiers.

💡 Astuce mémo

Puissance complexe → coordonnées entières → somme de deux carrés.

📖 10. Configurations géométriques dans le plan

★ À maîtriser

• Pour des points A, B, C et D d’affixes respectives $z_A,z_B,z_C,z_D$ avec $A\ne B$ et $C\ne D$, l’argument de $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}$ mesure l’angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{BA}$ modulo $2\pi$.

📐 Formule - Pour des points A, B, C et D d’affixes respectives $z_A,z_B,z_C,z_D$ avec $C\ne D$, on a $\left|\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}\right|=\frac{AB}{CD}$.

• Pour deux droites (AB) et (CD), avec $A\ne B$ et $C\ne D$, elles sont parallèles si et seulement si $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}\in\mathbb{R}^*$.

• Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\in\mathbb{R}^*$.

• Les droites (AB) et (CD), avec $A\ne B$ et $C\ne D$, sont perpendiculaires si et seulement si $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}\in i\mathbb{R}^*$.

Compléments

• Si $|z-z_A|=r$ avec $r>0$, le point d’affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon r.

📌 La condition $|z-z_A|=\lambda|z-z_B|$ équivaut à $AM=\lambda BM$ : son lieu est la médiatrice de [AB] si $\lambda=1$, et un cercle de diamètre [G₁G₂] si $\lambda\ne1$, où $G₁=\operatorname{bar}\{(A;1),(B;\lambda)\}$ et $G₂=\operatorname{bar}\{(A;1),(B;-\lambda)\}$.

📌 Quatre points deux à deux distincts et non alignés A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si $\frac{z_C-z_A}{z_D-z_A}:\frac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\in\mathbb{R}^*$.

• Pour les points d’affixes respectives −2i, 7 − i, 8 + 2i et −1 + 5i, on obtient $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=i$ et $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_C}=-3i$, donc $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}:\frac{z_D-z_C}{z_B-z_C}=-\frac{1}{3}\in\mathbb{R}^*$ et les quatre points sont cocycliques.

📖 11. Triangles et nombres complexes

★ À maîtriser

• Pour trois points non alignés A, B et C, le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in i\mathbb{R}^*$.

• Pour trois points non alignés A, B et C, le triangle ABC est rectangle et isocèle en A si et seulement si $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=i$ ou $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-i$.

• Pour trois points non alignés A, B et C, le triangle ABC est équilatéral si et seulement si $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=e^{i\pi/3}$ ou $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=e^{-i\pi/3}$.

Compléments

📌 Pour trois points non alignés A, B et C et un angle $0<\alpha<\pi$, le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\alpha}$ ou $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{-i\alpha}$.

• Pour les points d’affixes respectives $1+i$, $3$ et $3+5i$, on a $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-\frac{1}{2}i\in i\mathbb{R}^*$, donc le triangle ABC est rectangle en A.

• Pour les points d’affixes respectives $-3+2i$, $-2-3i$ et $3-2i$, on a $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=i$, donc le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

• Pour les points d’affixes respectives $-1+i\sqrt{3}$, $2$ et $-1-i\sqrt{3}$, on a $\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=e^{-i\pi/3}$, donc le triangle ABC est équilatéral.

💡 Astuce mémo

Un quotient dans iℝ* signale un angle droit ; un quotient égal à ±i signale aussi des côtés égaux.

📖 12. Variations des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite réelle est croissante lorsque, pour tout indice n de son ensemble de définition, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Une suite réelle est décroissante lorsque, pour tout indice n de son ensemble de définition, $u_n\geq u_{n+1}$.
• Suite majorée : S’il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n$ de son ensemble de définition, $u_n\leq M.
• Suite minorée : S’il existe un réel $m$ tel que, pour tout $n$ de son ensemble de définition, $u_n\geq m.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.
• Suite constante : Une suite réelle est constante lorsque, pour tout indice n de son ensemble de définition, $u_n=u_{n+1}$.
• Suite monotone : Une suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

★ À maîtriser

• La méthode algébrique étudie les variations d’une suite en examinant la différence $u_{n+1}-u_n$ ou, si $u_n>0$, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

📌 Si $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout n, alors la suite est croissante, et si $u_{n+1}-u_n\leq0$ pour tout n, elle est décroissante.

Compléments

📌 Si $u_n>0$ pour tout n, alors $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1$ implique que la suite est croissante, tandis que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1$ implique qu’elle est décroissante.

📌 Si $u_n=f(n)$, alors la suite a le même sens de variation que la fonction f sur un intervalle contenant son ensemble d’indices.

• Pour $w_n=n^2+3n$, on a $w_{n+1}-w_n=2n+4>0$ pour tout entier naturel n, donc la suite est croissante.

• Pour $v_n=e^{-2n+1}$, on a $\frac{v_{n+1}}{v_n}=e^{-2}<1$ pour tout entier naturel n, donc la suite est décroissante.

• Un raisonnement par récurrence peut servir à démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée.

💡 Astuce mémo

Majorée : au-dessus, minorée : au-dessous

📖 13. Limites et convergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite finie ; une suite qui n’est pas convergente est divergente.

★ À maîtriser

📌 Si $u_n=f(n)$, où $f$ est définie sur un intervalle $[a,+\infty[$, et si $f(x)$ tend vers $l$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, alors $u_n$ tend vers $l$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

📌 Toute suite décroissante et minorée est convergente, et toute suite croissante et majorée est convergente.

📐 Formule - Pour une suite géométrique $(a^n)$, la limite est $0$ si $-1<a<1$, $1$ si $a=1$, et $+\infty$ si $a>1$ ; si $a\leq-1$, la suite n’a pas de limite.

📐 Formule - Pour $\alpha>0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n^\alpha}=0,$ et, pour $a>1$ et $\alpha>0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{a^n}=0.$

📌 Si, à partir d’un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$ et si $v_n$ et $w_n$ tendent vers le même réel $l$, alors $u_n$ tend vers $l$.

📌 Si une suite récurrente à valeurs dans un ensemble fermé $K$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$, si $f$ est continue sur $K$ et si la suite converge vers $l$, alors $l\in K$ et $f(l)=l$.

Compléments

• Si une suite numérique admet une limite, cette limite est unique.

📐 Formule - Pour tout réel $\alpha>0$, $\lim_{n\to+\infty}n^\alpha=+\infty\quad\text{et}\quad\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^\alpha}=0.$

📌 Toute suite décroissante et non minorée diverge vers $-\infty$, tandis que toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.

📐 Formule - Pour une suite puissance $(n^\alpha)$, sa limite est $0$ si $\alpha<0$, $1$ si $\alpha=0$ et $+\infty$ si $\alpha>0$ ; de plus, $\ln n$ tend vers $+\infty$.

• Si deux suites convergentes vérifient $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors leurs limites vérifient $\lim u_n\leq\lim v_n$.

• Si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et si $v_n$ tend vers $-\infty$, alors $u_n$ tend vers $-\infty$ ; si $u_n\geq v_n$ et si $v_n$ tend vers $+\infty$, alors $u_n$ tend vers $+\infty$.

• Si $u_n$ tend vers $a$, si $f$ est définie sur l’ensemble contenant les termes de la suite et si $f(x)$ tend vers le réel $l$ lorsque $x$ tend vers $a$, alors $f(u_n)$ tend vers $l$.

• Euler a démontré que $\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}\right)=\frac{\pi^2}{6}.$

📖 14. Intégrale et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ et si $F$ est une primitive de $f$, l’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre $F(b)-F(a)$, indépendant du choix de $F$.
• Valeur moyenne : La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a,b]$ est le nombre $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad \int_a^a f(x)\,dx=0,\qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx.$

📌 Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ est l’aire, en unités d’aire, de la région comprise entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.

Compléments

• Dans $\int_a^b f(x)\,dx$, $a$ et $b$ sont les bornes et la variable d’intégration est muette ; on peut la remplacer par une autre lettre.

📐 Formule - Pour des fonctions continues sur un intervalle contenant $a,b,c$, $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$

📐 Formule - Pour des fonctions continues $f,g$ et un réel $\lambda$, $\int_a^b(f+g)(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx,\qquad \int_a^b\lambda f(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx.$

📌 Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ et si $0\leq f(x)\leq g(x)$ sur cet intervalle, alors $0\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx$.

📐 Formule - Si $f$ est continue et vérifie $m\leq f(x)\leq M$ sur $[a,b]$, alors $m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a).$

📐 Formule - Si $f$ est continue et $|f(x)|\leq M$ avec $M\geq0$ sur $[a,b]$, alors $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\leq M(b-a).$

💡 Astuce mémo

L’intégrale positive représente l’aire sous la courbe

📖 15. Calcul intégral et calcul d’aires

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a,b]$ et si leurs dérivées sont continues, alors $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$

• Pour calculer une intégrale de la forme $\int_a^b f(\alpha x+\beta)\,dx$, avec $\alpha\ne0$, on pose $t=\alpha x+\beta$, puis $dt=\alpha\,dx$ et on transforme les bornes en $\alpha a+\beta$ et $\alpha b+\beta$.

📌 Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$, l’aire sous sa courbe vaut $\int_a^b f(x)\,dx$ ; si $f$ est négative, elle vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$.

📌 Si $f$ est continue sur un intervalle $K$ et $a\in K$, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$, et sa dérivée vaut $f(x)$.

Compléments

📌 Si $f$ est continue et paire sur un intervalle symétrique, alors $\int_{-a}^a f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx$ ; si $f$ est impaire, cette intégrale est nulle.

📌 Si $f$ est continue et périodique de période $T$, alors son intégrale sur un intervalle de longueur $T$ est indépendante de l’origine de cet intervalle : $\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^T f(x)\,dx$.

• Si $f$ change de signe sur $[a,b]$, on partage l’intervalle en sous-intervalles où son signe est constant et on additionne les aires en prenant l’opposé de l’intégrale sur les portions négatives.

📐 Formule - Si $f\leq g$ sur $[a,b]$, l’aire comprise entre leurs courbes vaut $\int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.$

📌 Si $f-g$ change de signe sur $[a,b]$, on partage l’intervalle selon les croisements des courbes et on intègre, sur chaque portion, la différence positive entre la courbe supérieure et la courbe inférieure.

💡 Astuce mémo

Primitive, parties, changement de variable, symétrie

📖 16. Étude des fonctions définies par intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction F : La fonction définie par $F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{t}\,dt$ est définie sur ]0,+∞[ et sa dérivée est $F'(x)=\frac{e^x}{x}$.

★ À maîtriser

• Comme $F'(x)=\frac{e^x}{x}>0$ pour x>0, la fonction F est strictement croissante sur ]0,+∞[.

Compléments

• Pour f(x)=x+1-e^x, on a f(x)-(x+1)=-e^x<0 sur ℝ, donc la courbe de f est située sous la droite y=x+1.

• La dérivée de f(x)=x+1-e^x est f'(x)=1-e^x ; f est croissante sur ]-∞,0] puis décroissante sur [0,+∞[ et atteint son maximum f(0)=0.

• L’aire en cm² de la région comprise entre la courbe de f(x)=x+1-e^x, la droite y=x+1 et les droites x=-2 et x=0 vaut $4(1-e^{-2})$.

• Pour f(x)=F(x)-\ln x, on a $f(x)=\int_1^x \frac{e^t-1}{t}\,dt$ ; ainsi F(x)<ln x pour 0<x<1 et F(x)>ln x pour x>1.

• La fonction F vérifie $\lim_{x\to0^+}F(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$.

• La courbe de F admet l’axe des ordonnées, d’équation x=0, comme asymptote verticale.

• La courbe de F admet en +∞ une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées, car $\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}=+\infty$.

📖 17. Ajustement linéaire par moindres carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique double : Une série statistique double de caractères quantitatifs X et Y est l’ensemble des triplets (xᵢ,yⱼ,nᵢⱼ), où nᵢⱼ est l’effectif du couple (xᵢ,yⱼ) dans une population de n individus.
• Nuage de points : Le nuage de points associé à une série double est l’ensemble des points de coordonnées (xᵢ,yⱼ) dont les effectifs nᵢⱼ sont non nuls.
• Point moyen : Le point moyen G d’un nuage de n points a pour coordonnées les moyennes des coordonnées, $x_G=\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$ et $y_G=\bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_n}{n}$.
• Série marginale : La série marginale d’un caractère regroupe ses modalités et leurs effectifs obtenus en additionnant les effectifs conjoints correspondants ; les fréquences marginales sont ces effectifs divisés par l’effectif total.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de corrélation linéaire est $r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}$ ; il a le même signe que la covariance et vérifie $-1\le r\le1$.

📌 En pratique, si 0,87≤r<1 ou -1<r≤-0,87, les caractères présentent une forte corrélation linéaire.

📐 Formule - La droite de régression de Y en X a pour équation $y=ax+b$, avec $a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{V(X)}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$.

Compléments

📐 Formule - La covariance d’une série double peut se calculer par $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum n_{ij}(x_i-\bar{x})(y_j-\bar{y})=\frac{1}{n}\sum n_{ij}x_i y_j-\bar{x}\bar{y}$.

• Les deux droites de régression passent par le point moyen G ; leurs coefficients directeurs vérifient aa'=r².

• L’équation d’une droite d’ajustement permet d’estimer une valeur de Y à partir de X, ou de X à partir de Y, selon la variable expliquée.

📖 18. Résolution d’équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir au moins une dérivée de cette fonction.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les solutions de $y'+ay=0$ sur ℝ sont $y(x)=ke^{-ax}$, avec k∈ℝ.

📐 Formule - Pour a≠0, les solutions de $y'+ay=b$ sur ℝ sont $y(x)=ke^{-ax}+\frac{b}{a}$, avec k∈ℝ.

📐 Formule - Pour ω≠0, les solutions de $y''-\omega^2y=0$ sont $y(x)=ae^{-\omega x}+be^{\omega x}$, avec a,b∈ℝ.

Compléments

• Pour tous réels x₀ et y₀, l’équation $y'+ay=b$ admet une unique solution sur ℝ vérifiant y(x₀)=y₀.

• Dans le modèle où la vitesse d’accroissement d’une population est proportionnelle à sa taille, on pose f'(t)=af(t) ; avec f(0)=4,75 millions en 1990 et f(5)=5,5 millions en 1995, le modèle prévoit l’atteinte de 20 millions en 2038.

💡 Astuce mémo

Pour y'' + m y = 0, m < 0 donne des exponentielles, tandis que m > 0 donne des sinus et cosinus.