QCM : Suites numériques et calcul intégral (11 questions)

Question 1

1. On sait que $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et que $\lim_{y\to 5}g(y)=-3$ . Quelle est alors la limite de $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $2$ ?

2

La limite n’existe pas nécessairement

-3

5

Explication

La règle de composition donne la limite de g au point atteint par f : comme f tend vers 5 et g tend vers −3 en 5, la composée tend vers −3. La valeur 5 correspond à la limite de f, tandis que 2 est le point vers lequel x tend.

Answer

Elle existe, est finie et est supérieure ou égale à $$-2$$.

Answer

$$g(3)=7$$

Answer

Un intervalle ou un singleton.

Answer

Elle définit une bijection de cet intervalle sur son image.

Answer

$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)$$

Answer

Associer à chaque réel $$x$$ la probabilité que $$X$$ soit inférieure ou égale à $$x$$.

Answer

Que les dérivées à gauche et à droite existent et sont égales

Answer

Une primitive particulière est un élément de la famille, tandis que les autres s’obtiennent en lui ajoutant une constante réelle.

Answer

Parce que le logarithme du quotient est la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur.

Answer

Imposer $$u(x)>0$$ et $$v(x)>0$$, puis résoudre $$u(x)\geq v(x)$$ sur cet ensemble.

Question 2

2. Une fonction décroissante sur $]1,4[$ est minorée par $-2$ . Que peut-on conclure sur sa limite en $4$ ?

Elle existe, est finie et est supérieure ou égale à

-2

.

Elle existe, est finie et est inférieure ou égale à

-2

.

Elle existe et vaut nécessairement

-2

.

Son existence ne peut pas être conclue à partir de ces données.

Explication

Une fonction décroissante et minorée sur un intervalle ouvert admet une limite finie à l’extrémité droite, et cette limite est supérieure ou égale au minorant. L’inégalité inversée confond ce résultat avec celui d’une fonction croissante majorée, et le minorant n’est pas nécessairement atteint comme limite.

Question 3

3. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=3$ , mais sa limite en $3$ vaut $7$ . Quelle valeur faut-il attribuer en $3$ pour obtenir son prolongement par continuité ?

g(3)=0

Aucune valeur ne peut rendre la fonction continue en 3.

g(3)=7

g(3)=3

Explication

Le prolongement par continuité attribue au point exclu la limite finie de la fonction en ce point. La valeur 3 est l’abscisse exclue, et choisir 0 arbitrairement ne garantit pas la continuité.

Question 4

4. Une fonction continue est définie sur l’intervalle $[-2,3]$ . Quelle forme peut avoir son image de cet intervalle ?

Un intervalle ou un singleton.

Un intervalle ouvert, nécessairement non réduit à un point.

Une réunion de plusieurs intervalles disjoints.

Un ensemble fini de valeurs isolées.

Explication

L’image d’un intervalle par une fonction continue sur celui-ci est un intervalle ou un singleton. Une réunion disjointe ou un ensemble fini de valeurs isolées ne correspond pas à cette propriété générale.

Question 5

5. Que garantit la continuité et la stricte monotonie d’une fonction sur un intervalle ?

Elle définit une fonction périodique sur son image.

Elle garantit que son image est un intervalle fermé.

Elle garantit que sa dérivée est constante sur l’intervalle.

Elle définit une bijection de cet intervalle sur son image.

Explication

La continuité et la stricte monotonie assurent que chaque valeur de l’image est atteinte une seule fois, ce qui fait de la fonction une bijection vers son image. La continuité seule ne garantit pas que l’image soit fermée, car l’intervalle de départ peut avoir des bornes exclues.

Question 6

6. Lorsque des événements $B_1,\ldots,B_n$ forment une partition de l’univers, quelle formule permet de calculer la probabilité d’un événement $A$ ?

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)

P(A)=\prod_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i\mid A)

Explication

Les événements $A\cap B_i$ décomposent $A$ en parties disjointes lorsque les $B_i$ forment une partition, d’où la somme de leurs probabilités. Additionner les probabilités des $B_i$ donnerait plutôt la probabilité de l’univers, égale à $1$ .

Question 7

7. Quel est le rôle de la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ ?

Associer à chaque valeur possible de

X

sa probabilité ponctuelle.

Donner, pour chaque valeur possible de

X

, son écart à l’espérance.

Associer à chaque réel

x

la probabilité que

X

soit inférieure ou égale à

x

.

Calculer la probabilité que

X

prenne une valeur strictement supérieure à

x

.

Explication

La fonction de répartition donne, pour tout réel $x$ , $P(X\leq x)$ , ce qui décrit la probabilité cumulée jusqu’à cette valeur. La probabilité ponctuelle concerne plutôt la loi de probabilité, qui associe une probabilité à chaque valeur prise par $X$ .

Question 8

8. Pour une fonction définie par morceaux, que faut-il vérifier en un point de raccord pour établir sa dérivabilité ?

Que les valeurs de la fonction à gauche et à droite sont égales

Que les dérivées à gauche et à droite existent et sont égales

Que la dérivée seconde existe de chaque côté du point

Que les dérivées à gauche et à droite existent, même si elles diffèrent

Explication

La dérivabilité en un point équivaut à l’existence des deux nombres dérivés latéraux et à leur égalité. La continuité, qui concerne l’égalité des limites et de la valeur de la fonction, ne suffit pas à garantir la dérivabilité.

Question 9

9. Quelle différence distingue une primitive particulière d’une fonction continue de l’ensemble de ses primitives sur un intervalle ?

Une primitive particulière est une fonction continue, tandis que les autres doivent être strictement monotones.

Une primitive particulière est un élément de la famille, tandis que les autres s’obtiennent en lui ajoutant une constante réelle.

Une primitive particulière est définie en un point, tandis que les autres sont définies sur tout l’intervalle.

Une primitive particulière est unique sur l’intervalle, tandis que les autres dépendent de la valeur de la dérivée.

Explication

Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante, de sorte que l’ensemble des primitives s’écrit à partir d’une primitive particulière en lui ajoutant un réel. La valeur prescrite en un point permet de sélectionner une primitive unique, mais ne change pas la forme générale de cette famille.

Question 10

10. Pourquoi peut-on transformer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ en $\ln(a)-\ln(b)$ lorsque $a>0$ et $b>0$ ?

Parce que le logarithme du quotient est le quotient des logarithmes du numérateur et du dénominateur.

Parce que le logarithme du quotient est la somme des logarithmes du numérateur et du dénominateur.

Parce que le logarithme du quotient est la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur.

Parce que le logarithme du quotient est le logarithme du numérateur multiplié par celui du dénominateur.

Explication

Cette propriété algébrique permet de convertir un quotient de nombres positifs en différence de logarithmes. En revanche, le logarithme d’un quotient n’est pas le quotient des logarithmes.

Question 11

11. Pour résoudre une inéquation de la forme $\ln(u(x))\geq\ln(v(x))$ , quelle démarche faut-il appliquer ?

Imposer

u(x)>0

et

v(x)>0

, puis résoudre

u(x)\geq v(x)

sur cet ensemble.

Imposer

u(x)>0

et

v(x)>0

, puis résoudre

u(x)>v(x)

sur cet ensemble.

Résoudre

u(x)\geq v(x)

, puis vérifier que l’un des deux arguments est positif.

Comparer les dérivées de

u

et

v

, puis déterminer où leurs logarithmes sont définis.

Explication

Le logarithme est croissant sur les réels strictement positifs : il faut donc d’abord imposer la positivité des deux arguments, puis comparer ces arguments avec la même inégalité. Résoudre une inégalité stricte entre les arguments changerait la condition initiale, qui autorise aussi l’égalité.

QCM : Suites numériques et calcul intégral (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On sait que $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et que $\lim_{y\to 5}g(y)=-3$ . Quelle est alors la limite de $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $2$ ?

2. Une fonction décroissante sur $]1,4[$ est minorée par $-2$ . Que peut-on conclure sur sa limite en $4$ ?

3. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=3$ , mais sa limite en $3$ vaut $7$ . Quelle valeur faut-il attribuer en $3$ pour obtenir son prolongement par continuité ?

4. Une fonction continue est définie sur l’intervalle $[-2,3]$ . Quelle forme peut avoir son image de cet intervalle ?

5. Que garantit la continuité et la stricte monotonie d’une fonction sur un intervalle ?

6. Lorsque des événements $B_1,\ldots,B_n$ forment une partition de l’univers, quelle formule permet de calculer la probabilité d’un événement $A$ ?

7. Quel est le rôle de la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ ?

8. Pour une fonction définie par morceaux, que faut-il vérifier en un point de raccord pour établir sa dérivabilité ?

9. Quelle différence distingue une primitive particulière d’une fonction continue de l’ensemble de ses primitives sur un intervalle ?

10. Pourquoi peut-on transformer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ en $\ln(a)-\ln(b)$ lorsque $a>0$ et $b>0$ ?

11. Pour résoudre une inéquation de la forme $\ln(u(x))\geq\ln(v(x))$ , quelle démarche faut-il appliquer ?

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QCM : Suites numériques et calcul intégral (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On sait que lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x\to 2}f(x)=5limx→2​f(x)=5 et que lim⁡y→5g(y)=−3\lim_{y\to 5}g(y)=-3limy→5​g(y)=−3. Quelle est alors la limite de g(f(x))g(f(x))g(f(x)) lorsque xxx tend vers 222 ?

2. Une fonction décroissante sur ]1,4[]1,4[]1,4[ est minorée par −2-2−2. Que peut-on conclure sur sa limite en 444 ?

3. Une fonction fff n’est pas définie en a=3a=3a=3, mais sa limite en 333 vaut 777. Quelle valeur faut-il attribuer en 333 pour obtenir son prolongement par continuité ?

4. Une fonction continue est définie sur l’intervalle [−2,3][-2,3][−2,3]. Quelle forme peut avoir son image de cet intervalle ?

5. Que garantit la continuité et la stricte monotonie d’une fonction sur un intervalle ?

6. Lorsque des événements B1,…,BnB_1,\ldots,B_nB1​,…,Bn​ forment une partition de l’univers, quelle formule permet de calculer la probabilité d’un événement AAA ?

7. Quel est le rôle de la fonction de répartition d’une variable aléatoire XXX ?

8. Pour une fonction définie par morceaux, que faut-il vérifier en un point de raccord pour établir sa dérivabilité ?

9. Quelle différence distingue une primitive particulière d’une fonction continue de l’ensemble de ses primitives sur un intervalle ?

10. Pourquoi peut-on transformer ln⁡(ab)\ln\left(\frac{a}{b}\right)ln(ba​) en ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln(a)-\ln(b)ln(a)−ln(b) lorsque a>0a>0a>0 et b>0b>0b>0 ?

11. Pour résoudre une inéquation de la forme ln⁡(u(x))≥ln⁡(v(x))\ln(u(x))\geq\ln(v(x))ln(u(x))≥ln(v(x)), quelle démarche faut-il appliquer ?

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1. On sait que $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et que $\lim_{y\to 5}g(y)=-3$ . Quelle est alors la limite de $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $2$ ?

2. Une fonction décroissante sur $]1,4[$ est minorée par $-2$ . Que peut-on conclure sur sa limite en $4$ ?

3. Une fonction $f$ n’est pas définie en $a=3$ , mais sa limite en $3$ vaut $7$ . Quelle valeur faut-il attribuer en $3$ pour obtenir son prolongement par continuité ?

4. Une fonction continue est définie sur l’intervalle $[-2,3]$ . Quelle forme peut avoir son image de cet intervalle ?

6. Lorsque des événements $B_1,\ldots,B_n$ forment une partition de l’univers, quelle formule permet de calculer la probabilité d’un événement $A$ ?

7. Quel est le rôle de la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ ?

10. Pourquoi peut-on transformer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ en $\ln(a)-\ln(b)$ lorsque $a>0$ et $b>0$ ?

11. Pour résoudre une inéquation de la forme $\ln(u(x))\geq\ln(v(x))$ , quelle démarche faut-il appliquer ?