Fiche de révision : Suites numériques et calculs de termes

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des suites
2. Relations de récurrence
3. Expression explicite d’une suite
4. Notation indicielle et rang
5. Calculs et représentation graphique
6. Variation d’une suite

📖 1. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres, dont chaque nombre est appelé un terme.
• Indice : Entier naturel utilisé pour numéroter chaque terme d’une suite.

★ À maîtriser

📌 Le terme général u(n) désigne le terme d’indice n, tandis que u(n+1) désigne le terme suivant u(n).

Compléments

• Pour la suite définie par u(0) = -1, le premier terme est u(0), le deuxième est u(1) et le cinquième est u(4).

💡 Astuce mémo

Une suite comme une file ordonnée de termes, chacun portant un indice.

📖 2. Relations de récurrence

★ À maîtriser

• Une relation de récurrence permet de calculer un terme à partir du terme précédent, en appliquant une opération donnée.

📐 Formule — Pour la suite -1 ; -3 ; -9 ; -27 ; -81 ; ..., chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 3 : $u(n+1)=3u(n)$.

📐 Formule — Pour la suite 7 ; 5 ; 3 ; 1 ; -1 ; ..., chaque terme s’obtient en retranchant 2 au précédent : $v(n+1)=v(n)-2$.

Compléments

📐 Formule — La suite définie par u(0)=2 et $u(n+1)=u(n)-3$ commence par u(1)=-1, u(2)=-4 et u(3)=-7.

💡 Astuce mémo

Terme courant → opération → terme suivant.

📖 3. Expression explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression explicite : Une suite est définie explicitement lorsque son terme général est directement donné en fonction de n.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la suite définie par $u(n)=3n-7$, on obtient u(0)=-7, u(1)=-4, u(2)=-1 et u(3)=2.

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_n=2^n$, la relation entre deux termes consécutifs est $u_{n+1}=2u_n$.

Compléments

📐 Formule — Pour la suite définie par $u(n)=3n^2-2n$, le calcul de u(n+1)-u(n) permet d’étudier son évolution.

📖 4. Notation indicielle et rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation indicielle : Les termes d’une suite u peuvent être notés uₙ au lieu de u(n), et n est appelé l’indice.

📝 Points essentiels

• Pour la suite $u_n=2n+1$, on a u₀=1, u₁=3, u₂=5 et u₁₂=25.

📌 Le neuvième terme d’une suite commençant à l’indice 0 est u₈, tandis que le terme d’indice 9 est u₉.

💡 Astuce mémo

Indice n ≠ rang n : avec un départ à 0, le terme d’indice n est le (n+1)e terme.

📖 5. Calculs et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Nuage de points de coordonnées (n ; u(n)) pour n appartenant à l’ensemble des entiers naturels.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un terme d’une suite explicitement définie, on remplace n par l’indice demandé dans l’expression du terme général.

• Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, on part du terme initial puis on applique successivement la relation donnée.

📖 6. Variation d’une suite

📝 Points essentiels

📌 Si u(n+1)-u(n) est positif pour tout n, alors la suite est croissante.

• Pour étudier la variation d’une suite, on calcule u(n+1), puis la différence u(n+1)-u(n), avant d’en déterminer le signe.

💡 Astuce mémo

Différence positive entre deux termes consécutifs → suite croissante.

📊 Tableaux de synthèse

Deux modes de définition d’une suite