Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Variations des suites
3. Majorants minorants et bornes
4. Limites infinies
5. Limite réelle et convergence
6. Limites usuelles et opérations
7. Comparaison et encadrement
8. Convergence monotone et géométrique

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r vérifie, pour tout n∈N, $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q vérifie, pour tout n∈N, $u_n=u_0q^n$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 2. Variations des suites

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut comparer successivement ses termes, étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, étudier la monotonie de f lorsque $u_n=f(n)$, comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ par quotient pour des termes de même signe, ou utiliser une récurrence.

📌 Si f est définie et monotone sur [p;+∞[ et si $u_n=f(n)$ pour n≥p, alors la suite a la même monotonie que f.

Compléments

📌 Pour une suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, la suite n’a pas nécessairement le même sens de variation que la fonction f.

💡 Astuce mémo

Explicite : les variations de f se transmettent ; récurrente : elles ne se transmettent pas forcément.

📖 3. Majorants minorants et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n, $u_n\le M$.
• Suite minorée : Une suite est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n, $u_n\ge m$.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• Pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée, on peut établir des inégalités ou encadrements, utiliser une récurrence, ou étudier la fonction f lorsque $u_n=f(n)$.

💡 Astuce mémo

Majorée = plafond ; minorée = plancher ; bornée = les deux.

📖 4. Limites infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Pour tout réel A, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n≥n₀, $u_n\ge A$.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞, et toute suite décroissante non minorée a pour limite −∞.

Compléments

• Les suites $n^k$ pour tout entier k≥1, $\sqrt n$ et $2^n$ ont pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Dépasser tout seuil pour +∞, franchir tout seuil vers le bas pour −∞.

📖 5. Limite réelle et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite réelle : Pour tout ε>0, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n≥n₀, $\ell-\varepsilon<u_n<\ell+\varepsilon$.
• Suite convergente : Une suite qui a pour limite un nombre réel ℓ.

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite convergente est unique.

• La suite définie par $u_n=(-1)^n$ est divergente car elle vaut 1 lorsque n est pair et −1 lorsque n est impair.

💡 Astuce mémo

Les termes se resserrent dans un couloir de largeur 2ε autour de ℓ.

📖 6. Limites usuelles et opérations

★ À maîtriser

• On a $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2}=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$ et, si −1<q<1, $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$.

📌 La limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient se calcule à partir des limites des suites lorsque l’opération n’est pas une forme indéterminée et que le dénominateur ne tend pas vers 0 dans un quotient.

Compléments

• Pour calculer la limite d’une expression polynomiale ou rationnelle, on peut factoriser par le terme dominant, puis appliquer les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient.

📖 7. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si $u_n\to+\infty$ et si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n$, alors $v_n\to+\infty$.

📌 Si $u_n\to\ell$, $w_n\to\ell$ et si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$, alors $v_n\to\ell$.

Compléments

• Pour $v_n=\frac{\cos n}{n}$, l’encadrement $-\frac1n\le v_n\le\frac1n$ et les limites des deux bornes valent 0, donc $v_n\to0$.

💡 Astuce mémo

Deux gendarmes encadrent la suite centrale jusqu’à sa limite commune.

📖 8. Convergence monotone et géométrique

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

• Pour une suite géométrique $q^n$, la limite vaut 0 si −1<q<1, n’existe pas si q<−1, vaut 1 si q=1 et vaut +∞ si q>1.

Compléments

• Comme $1{,}01>1$, on a $\lim_{n\to+\infty}1{,}01^n=+\infty$, ce qui modélise une croissance de 1 % par an.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence ; la valeur de q commande le destin de qⁿ.

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites de qⁿ