QCM : Suites numériques et limites — 17 questions

Explication

Une suite arithmétique ajoute la même raison à chaque passage d’un terme au suivant, d’où la formule $u_n=u_0+nr$. L’expression $u_0r^n$ correspond à une suite géométrique.

Explication

Pour une suite géométrique, on utilise $u_n=u_0q^n$, donc $u_4=3\times2^4=48$. Le résultat $24$ correspondrait à une puissance de 2 trop faible ou à un décalage d’indice.

Explication

Le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ permet de déterminer le sens de variation sans condition sur le signe des termes. Le quotient exige que les deux termes comparés aient un signe compatible, notamment lorsqu’on interprète un quotient comme supérieur ou inférieur à 1.

Explication

Les entiers $n\ge p$ se déplacent dans un intervalle où $f$ est croissante ; ainsi, les valeurs $f(n)=u_n$ augmentent avec $n$. Une suite définie par récurrence ne permettrait pas de tirer cette conclusion de la même façon à partir de la seule monotonie de sa fonction.

Explication

Une suite est majorée par $M$ lorsque chacun de ses termes est inférieur ou égal à $M$. Le majorant n’a pas besoin d’être atteint par un terme de la suite, contrairement à la condition d’existence d’un maximum.

Explication

La minoration signifie qu’un même réel $m$ est inférieur ou égal à chaque terme, donc $u_n\ge m$ pour tout $n$. L’égalité avec $m$ n’est pas requise, et une condition limitée aux grands rangs ne suffit pas pour la définition donnée.

Explication

Une suite bornée possède simultanément une borne supérieure et une borne inférieure, ce qui signifie qu’elle est majorée et minorée. La présence d’un maximum ou une propriété vérifiée seulement à partir d’un rang ne garantit pas ces deux encadrements.

Explication

Une suite tend vers $+$ si, quel que soit le seuil réel $A$ choisi, tous ses termes deviennent ensuite supérieurs ou égaux à ce seuil. La condition opposée correspondrait à un comportement vers $-$, tandis qu’un intervalle fixe autour d’un réel décrit une limite réelle.

Explication

Une suite croissante non majorée dépasse tout seuil réel à partir d’un certain rang et a donc pour limite $+$. Une suite décroissante non minorée aurait, elle, pour limite $-$.

Explication

La convergence vers $\ell$ signifie que, pour toute précision $\varepsilon>0$, les termes finissent par appartenir à l’intervalle $\left(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon\right)$. Devenir exactement égal à $\ell$ n’est pas requis, tandis que dépasser tout réel décrit une tendance vers $+$.

Explication

La suite prend la valeur $1$ pour les indices pairs et $-1$ pour les indices impairs, sans se rapprocher d’un réel unique. Le fait de dépasser tout seuil caractériserait plutôt une limite infinie, et une convergence réelle exige un rapprochement vers une même valeur.

Explication

Lorsque $q$ appartient à l’intervalle $(-1,1)$, les puissances $q^n$ tendent vers $0$. La valeur $q=1$ constitue un cas différent, car la suite constante associée a alors pour limite $1$.

Explication

Les règles opératoires s’appliquent directement lorsque les limites conduisent à une forme déterminée et, pour un quotient, lorsque le dénominateur a une limite non nulle. Une forme indéterminée ou un dénominateur tendant vers $0$ exige une étude supplémentaire.

Explication

Une suite situe9e au-dessus, e0 partir de9un certain rang, de9une suite qui tend vers $+f$ tend elle aussi vers $+f$. La seule ine9galite9 ne permet pas de conclure que $v_n$ est monotone ou borne9e.

Explication

Le the9ore8me des gendarmes donne $v_n\to\ell$ lorsque les deux suites qui leencadrent convergent vers la meame valeur. La diffe9rence $u_n-w_n$ tend bien vers $0$, mais ce neest pas la limite de $v_n$.

Explication

Une suite croissante et majore9e, ou de9croissante et minore9e, converge vers une limite re9elle. La monotonie seule peut conduire e0 une divergence vers $+f$ ou $-\infty$.

Explication

Pour $q=1$, chaque terme vaut $1^n=1$, donc la suite converge vers $1$. La divergence vers $+\infty$ correspond au cas $q>1$, tandis que la limite ne9existe pas lorsque $q<-1$.