Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Valeur absolue et propriétés
2. Distance et intervalles réels
3. Définitions des suites réelles
4. Convergence et limites finies
5. Opérations et comparaisons de limites
6. Limites infinies et formes indéterminées
7. Suites de référence et monotonie
8. Suites définies par récurrence

📖 1. Valeur absolue et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : nombre réel positif défini par $|x|=x$ si $x\ge 0$ et par $|x|=-x$ si $x\le 0$.

📝 Points essentiels

📌 Pour tous réels x et y, l’inégalité triangulaire donne $|x+y|\le |x|+|y|$ et la seconde inégalité triangulaire donne $\big||x|-|y|\big|\le |x-y|$.

• Pour tous réels x et y, la valeur absolue vérifie $|-x|=|x|$, $|xy|=|x||y|$ et $|x^2|=x^2$.

📖 2. Distance et intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance réelle : définie par $d(x,y)=\max(x,y)-\min(x,y)=|x-y|$.

★ À maîtriser

📌 Pour r positif, $|x-a|=r$ équivaut à $x=a-r$ ou $x=a+r$.

📌 Pour r positif, $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r,a+r]$, tandis que $|x-a|<r$ équivaut à $x\in]a-r,a+r[$.

Compléments

📌 Pour r positif, $|x-a|\ge r$ équivaut à $x\in]-\infty,a-r]\cup[a+r,+\infty[$, tandis que $|x-a|>r$ exclut les deux bornes.

💡 Astuce mémo

Égalité = deux points ; inégalité = un intervalle ou deux régions extérieures

📖 3. Définitions des suites réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$, dont le terme général est noté $u_n$.
• Suite monotone : Une suite est croissante si $u_n\le u_{n+1}$ pour tout n, décroissante si $u_n\ge u_{n+1}$ pour tout n, et monotone dans l’un de ces deux cas.
• Suite bornée : Une suite est majorée s’il existe M tel que $u_n\le M$ pour tout n, minorée s’il existe m tel que $u_n\ge m$ pour tout n, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📖 4. Convergence et limites finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Une suite converge vers ℓ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que $n\ge N\Rightarrow |u_n-\ell|<\varepsilon$.

★ À maîtriser

• Une suite convergente admet une unique limite et toute suite convergente est bornée.

Compléments

📌 La suite $u_n$ converge vers ℓ si et seulement si les sous-suites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ convergent toutes deux vers ℓ.

💡 Astuce mémo

Une suite entre dans un couloir de largeur ε autour de ℓ

📖 5. Opérations et comparaisons de limites

📝 Points essentiels

• Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$, alors $u_n+v_n\to\ell+\ell'$ et $u_nv_n\to\ell\ell'$.

• Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'\ne0$, alors $\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{\ell'}$.

• Si $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n\le\lim v_n$.

• Si $u_n\le w_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $v_n$ convergent vers la même limite ℓ, alors $w_n\to\ell$.

💡 Astuce mémo

Opérer, comparer, encadrer

📖 6. Limites infinies et formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout réel A>0, ses termes vérifient $u_n\ge A$ à partir d’un certain rang, et elle tend vers $-\infty$ si, pour tout réel A<0, ses termes vérifient $u_n\le A$ à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

• Les formes $+\infty+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$ sont indéterminées.

Compléments

📌 Si $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang, alors $u_n\to+\infty$ implique $v_n\to+\infty$, et $v_n\to-\infty$ implique $u_n\to-\infty$.

📌 Si $u_n\to a$ et si $f(x)\to b$ lorsque $x\to a$, alors $f(u_n)\to b$.

💡 Astuce mémo

Limite finie : calcul direct ; limite infinie : formes indéterminées à traiter

📖 7. Suites de référence et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si leur différence tend vers 0 ; elles convergent alors vers la même limite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique, $r^n\to0$ si $|r|<1$, $r^n\to1$ si $r=1$, $r^n\to+\infty$ si $r>1$, et la suite diverge si $r\le-1$.

📐 Formule — Pour une suite de puissances, $n^\alpha\to0$ si $\alpha<0$, $n^\alpha=1$ si $\alpha=0$, et $n^\alpha\to+\infty$ si $\alpha>0$.

📌 Une suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de l’ensemble de ses termes, tandis qu’une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

Compléments

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ et toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence

📖 8. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Point fixe : réel ℓ qui vérifie $f(\ell)=\ell$.

★ À maîtriser

📌 Si une suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers ℓ appartenant au domaine de f et si f est continue en ℓ, alors ℓ vérifie $f(\ell)=\ell$.

• Une suite récurrente est définie par un terme initial $u_0$ et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout n, avec f(u_n) défini pour tout n.

Compléments

• Pour étudier une suite récurrente, le cours propose notamment de conjecturer ses variations et sa convergence à partir de différentes valeurs initiales u₀.

💡 Astuce mémo

Convergence + continuité → point fixe

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites usuelles