Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Décomposition en facteurs premiers
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers
4. Division euclidienne et divisibilité

📖 1. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier comme un produit de nombres premiers.
• Nombres premiers entre eux : Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.

★ À maîtriser

• La décomposition en facteurs premiers de 60 est $60=2^2\times3\times5$.

📌 Pour un entier donné, il n’existe qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 588 est $588=2^2\times3\times7^2$.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement jusqu’à obtenir 1

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4 ou 8.

• Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Compléments

• 0 est un multiple de tout entier naturel b, car $0=b\times0$.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur, lui-même.

• 2 est le seul nombre premier pair.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Pour reconnaître si 223 est premier, on vérifie qu’il n’est divisible par aucun nombre inférieur ou égal à $\sqrt{223}=14{,}9$ ; il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7, ni par 11, ni par 13.

💡 Astuce mémo

Premier : exactement deux diviseurs ; 0 et 1 : non premiers

📖 4. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Effectuer la division euclidienne de a par b, avec b ≠ 0, consiste à trouver deux entiers q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.
• Multiple et diviseur : Si $a=b\times q$ avec a et b entiers positifs et b ≠ 0, alors a est un multiple de b et de q, tandis que b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

• La division euclidienne de 89 par 7 donne $89=7\times12+5$, donc le quotient est 12 et le reste est 5.

📌 Lorsque le reste d’une division euclidienne est nul, le diviseur est un diviseur du dividende.

Compléments

• Comme $362=16\times22+10$ avec un reste non nul, 362 n’est pas divisible par 16.

• Comme $143=11\times13$ avec un reste nul, 143 est un multiple de 11.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité