QCM : Suites numériques et récurrence — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment une suite numérique est-elle définie ?

Comme une équation définie sur l’ensemble des entiers relatifs
Comme une relation définie entre deux suites différentes
Comme une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels
Comme une fonction définie sur l’ensemble des nombres réels

Comme une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel un nombre, ce qui correspond à une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels. La définition sur les nombres réels concerne plutôt une fonction réelle d’une variable réelle.

2. Qu'est-ce qu'une suite numérique en mathématiques?

Une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.
Une équation différentielle.
Une série infinie de nombres.
Une relation entre deux variables continues.

Une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.

Explication

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque entier un nombre. La réponse incorrecte évoque des concepts différents comme les relations continues ou les séries infinies.

3. Quelle écriture décrit une construction par récurrence d’une suite ?

un+1=f(n+1)u_{n+1}=f(n+1)
un=f(un+1)u_n=f(u_{n+1})
un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
un=f(n)u_n=f(n)

$$u_{n+1}=f(u_n)$$

Explication

Une construction par récurrence exprime un terme à partir du terme précédent, selon un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). L’écriture un=f(n)u_n=f(n) donne directement le terme en fonction de son indice et constitue une formule explicite.

4. Quelle est la principale caractéristique d'une suite numérique en mathématiques?

Une relation de récurrence entre deux termes.
Une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.
Une formule explicite reliant le rang au terme.
Une suite dont chaque terme est une moyenne des extrêmes.

Une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.

Explication

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque rang un terme. La relation de récurrence ou la formule explicite sont des méthodes de construction, mais la définition fondamentale concerne la fonction elle-même.

5. Quelle propriété caractérise une suite arithmétique ?

Chaque terme s’obtient en soustrayant le terme précédent d’une quantité variable
Chaque terme s’obtient en ajoutant une quantité qui dépend de l’indice
Chaque terme s’obtient en ajoutant une même raison au terme précédent
Chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une même raison

Chaque terme s’obtient en ajoutant une même raison au terme précédent

Explication

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à la raison. La multiplication par une constante caractérise plutôt une suite géométrique.

6. Quelle est la fonction principale d'une suite géométrique dans une progression mathématique?

Elle permet de modéliser une croissance ou une décroissance par multiplication successive.
Elle sert à déterminer la différence constante entre les termes.
Elle sert uniquement à calculer la moyenne arithmétique des termes.
Elle est utilisée pour additionner des termes consécutifs.

Elle permet de modéliser une croissance ou une décroissance par multiplication successive.

Explication

Une suite géométrique modélise une croissance ou une décroissance par multiplication successive d'une raison q. La moyenne arithmétique des termes n'est pas spécifique à cette suite, et la différence constante concerne plutôt les suites arithmétiques.

7. Une suite arithmétique vérifie un=5+2nu_n=5+2n. Quelle relation de récurrence lui correspond ?

un+1=un−2u_{n+1}=u_n-2
un+1=2unu_{n+1}=2u_n
un+1=un+5u_{n+1}=u_n+5
un+1=un+2u_{n+1}=u_n+2

$$u_{n+1}=u_n+2$$

Explication

La forme 5+2n5+2n montre que la raison est r=2r=2, donc chaque terme s’obtient en ajoutant 2 au précédent. La relation un+1=2unu_{n+1}=2u_n correspondrait à une multiplication, caractéristique d’une suite géométrique.

8. Quand la formule un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)r est-elle utilisée pour décrire une suite ?

Pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique.
Lorsqu'on veut exprimer explicitement le terme général d'une suite arithmétique.
Pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante.
Lorsqu'on construit une suite géométrique à partir d'une relation de récurrence.

Lorsqu'on veut exprimer explicitement le terme général d'une suite arithmétique.

Explication

La formule un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)r est utilisée pour exprimer explicitement le terme général d'une suite arithmétique. Elle n'est pas applicable aux suites géométriques ou pour le calcul de sommes.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.

Suite numérique définition

Fonction définie sur les entiers naturels.

Comment se construit une suite numérique ?

Par une relation de récurrence ou une formule explicite.

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