Fiche de révision : Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et construction des suites
2. Suites arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Sommes et moyennes de suites

📖 1. Définition et construction des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels.

📝 Points essentiels

📌 Une suite se construit soit par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, soit par une formule explicite $u_n=f(n)$.

💡 Astuce mémo

Récurrence : terme précédent → nouveau terme ; explicite : rang → terme

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent un même nombre appelé la raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+r$.

📐 Formule — Le terme général d’une suite arithmétique vérifie $u_n=u_1+(n-1)r$.

📌 Si la raison vérifie r>0, la suite arithmétique est croissante, tandis que si r<0, elle est décroissante.

Compléments

• Pour une suite arithmétique initialisée par u0, on a $u_1=u_0+r$, $u_2=u_0+2r$ et $u_3=u_0+3r$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance sur une droite par pas constants de raison r

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par un même nombre appelé la raison q.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n\times q$.

📐 Formule — Le terme général d’une suite géométrique vérifie $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

📌 Pour une suite géométrique, q>1 entraîne une suite croissante, 0<q<1 entraîne une suite décroissante, une valeur initiale u0<0 entraîne une suite décroissante, et une raison négative rend la suite non monotone.

Compléments

📌 Une suite est croissante si et seulement si $u_n\leq u_{n+1}$, ce qui équivaut à $u_{n+1}-u_n\geq0$, et elle est décroissante si et seulement si $u_n\geq u_{n+1}$, ce qui équivaut à $u_{n+1}-u_n\leq0$.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique grandit ou rétrécit par multiplications successives de raison q

📖 4. Sommes et moyennes de suites

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique vérifie $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

📐 Formule — La somme des n premiers termes d’une suite géométrique vérifie $u_1+u_2+\cdots+u_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$.

📐 Formule — Pour trois termes consécutifs positifs d’une suite géométrique, on a $u_n=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$.

Compléments

📌 Dans une somme allant de u1 à u120, il y a 120 termes.

• Pour une somme géométrique de premier terme 1, de raison 2 et de 64 termes, on obtient $\sum u_k=\frac{1(1-2^{64})}{1-2}=2^{64}-1\approx1{,}84\times10^{19}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : moyenne des extrêmes ; géométrique : moyenne géométrique des extrêmes

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites arithmétiques et géométriques