Fiche de révision : Informations chiffrées et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportion et pourcentage
2. Pourcentage de pourcentage
3. Variations absolue et relative
4. Coefficient multiplicateur
5. Évolutions successives
6. Évolution réciproque

📖 1. Proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion p d’une partie A d’effectif n_A dans un ensemble non vide E d’effectif n_E est $p = \frac{n_A}{n_E}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — À partir de la proportion p d’une partie A dans E, on obtient $n_A = p \times n_E$ et, pour $p \ne 0$, $n_E = \frac{n_A}{p}$.

Compléments

📌 Pour une partie A incluse dans un ensemble non vide E, la proportion p vérifie $0 \leq p \leq 1$.

• Lors d’une élection, 648 personnes ont voté sur 864 inscrits, soit une proportion de 0,75 et donc 75 % de votants.

📖 2. Pourcentage de pourcentage

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A est une partie de E et E une partie de F, avec p_1 la proportion de A dans E et p_2 la proportion de E dans F, alors la proportion p de A dans F est $p = p_1 \times p_2$.

• Pour calculer une proportion imbriquée, on convertit les pourcentages en proportions, puis on multiplie les proportions successives.

Compléments

• Si 60 % des élèves pratiquent un sport et que 40 % de ces sportifs sont des garçons, alors 24 % des élèves sont des garçons pratiquant un sport.

• Si 53 % des Français jouent régulièrement aux jeux vidéo et que 47 % de ces joueurs sont des femmes, alors 24,91 % des Français sont des femmes jouant régulièrement aux jeux vidéo.

💡 Astuce mémo

Du sous-groupe vers le groupe intermédiaire, puis vers l’ensemble.

📖 3. Variations absolue et relative

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : La variation absolue ΔV entre une valeur de départ V_D et une valeur d’arrivée V_A est $\Delta V = V_A - V_D$.
• Variation relative : La variation relative, ou taux d’évolution t, entre V_D et V_A est $t = \frac{V_A - V_D}{V_D}$.

📝 Points essentiels

📌 Lorsque la quantité augmente, les variations absolue et relative sont positives ; lorsqu’elle diminue, elles sont négatives.

• Une somme passant de 110 € à 132 € subit une variation absolue de +22 € et une variation relative de +20 %.

💡 Astuce mémo

Absolue = différence en valeur ; relative = différence rapportée au départ.

📖 4. Coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur CM associé à un taux d’évolution t est $CM = 1 + t$ et la valeur d’arrivée vérifie $V_A = CM \times V_D$.

★ À maîtriser

📌 Pour une baisse, t est négatif et CM est compris entre 0 et 1 ; pour une augmentation, t est positif et CM est supérieur à 1.

Compléments

📐 Formule — Lorsque CM est non nul, la valeur de départ se retrouve par $V_D = \frac{V_A}{CM}$ et le taux d’évolution par $t = CM - 1$.

• Un article à 85 € soldé à −25 % a un coefficient multiplicateur de 0,75 et un prix d’arrivée de 63,75 €.

💡 Astuce mémo

Taux t → coefficient 1 + t → valeur d’arrivée.

📖 5. Évolutions successives

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des évolutions successives de taux t_1, t_2, ..., t_n, le coefficient multiplicateur global est $CM = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n$.

• Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 50 % donne $CM = 1{,}50 \times 0{,}50 = 0{,}75$ et un taux global de −25 %.

Compléments

📌 L’ordre d’application des évolutions successives n’a pas d’importance pour le coefficient multiplicateur global.

• Une hausse de 6 % puis une hausse de 14 % donne $CM = 1{,}06 \times 1{,}14 = 1{,}2084$ et un taux global de 20,84 %.

💡 Astuce mémo

Évolutions successives → produit des coefficients → taux global.

📖 6. Évolution réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux réciproque : Le taux réciproque t’ d’un taux t permet de passer de la valeur d’arrivée V_A à la valeur de départ V_D.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur réciproque vérifie $CM' = \frac{1}{CM}$, où CM est le coefficient multiplicateur de l’évolution initiale.

• 🔄 Pour déterminer un taux réciproque:
  1. Calculer CM = 1 + t
  2. Calculer CM’ = 1/CM
  3. Calculer t’ = CM’ − 1

Compléments

• Une augmentation de 60 % a pour coefficient CM = 1,60, pour coefficient réciproque CM’ = 0,625 et pour taux réciproque t’ = −37,5 %.

• Une baisse de 20 % faisant passer un article de 50 € à 40 € est compensée par une hausse réciproque de 25 % pour revenir à 50 €.

💡 Astuce mémo

Évolution de départ : CM ; retour : coefficient inverse 1/CM.

📊 Tableaux de synthèse

Variation absolue et relative