Fiche de révision : Suites numériques et sommes géométriques

📋 Plan du Cours

1. Modélisation par une suite géométrique
2. Sommes finies de suites géométriques
3. Coefficients moyens et notation somme
4. Suites définies par récurrence affine
5. Suite auxiliaire et expression explicite
6. Itérations et somme géométrique infinie

📖 1. Modélisation par une suite géométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le loyer, $\ell_0=600$ et $\ell_{n+1}=1{,}02\ell_n$, donc $\ell_n=600\times1{,}02^n$.

Compléments

• Le loyer mensuel initial est de 600 € et augmente de 2 % à chaque date anniversaire.

• Le loyer atteint environ 891,57 € après 20 ans et 909,40 € après 21 ans ; il dépasse donc 900 € au bout de 21 ans.

📖 2. Sommes finies de suites géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme $u_0$, de raison $q\ne1$ et de dernier indice $n$ est $S=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📌 La somme de $u_0$ à $u_n$ contient $n+1$ termes, car les indices commencent à 0.

Compléments

• La somme des loyers de $\ell_0$ à $\ell_{15}$ vaut environ 11 183,57 €.

• La somme $2+8+32+\cdots+524\,288$ est la somme de 10 termes d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 4, et vaut 699 050.

• La somme $6\times2^0+6\times2^1+\cdots+6\times2^{15}$ comprend 16 termes et vaut 393 210.

📖 3. Coefficients moyens et notation somme

★ À maîtriser

• Pour déterminer un pourcentage moyen d’évolution à partir de plusieurs coefficients multiplicateurs, on calcule leur moyenne géométrique.

Compléments

• Pour un prix qui passe de 150 € à 180 €, puis à 252 €, les coefficients multiplicateurs sont 1,2 et 1,4 ; le coefficient moyen est environ 1,2961, soit une hausse moyenne de 29,61 %.

📐 Formule - La somme $1\times2+2\times3+\cdots+25\times26$ s’écrit $\sum_{k=1}^{25}k(k+1)$.

📖 4. Suites définies par récurrence affine

★ À maîtriser

📐 Formule - La suite étudiée est définie par $U_0=100$ et $U_{n+1}=0{,}9U_n+6$.

📌 La suite définie par $U_0=100$ et $U_{n+1}=0{,}9U_n+6$ n’est ni arithmétique ni géométrique.

Compléments

• Les deux premiers termes calculés sont $U_1=96$ et $U_2=92{,}4$.

📖 5. Suite auxiliaire et expression explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite auxiliaire : La suite auxiliaire est définie par $V_n=U_n-60$ pour étudier la suite $U_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La suite auxiliaire vérifie $V_{n+1}=0{,}9V_n$ et, avec $V_0=40$, son terme général est $V_n=40\times0{,}9^n$.

📐 Formule - Comme $U_n=V_n+60$, le terme général est $U_n=40\times0{,}9^n+60$.

Compléments

• Le terme $U_{25}$ vaut environ 62,87.

• La limite éventuelle de la suite $U_n$ est estimée à 60.

💡 Astuce mémo

Soustraire le point fixe 60 transforme la récurrence affine en suite géométrique.

📖 6. Itérations et somme géométrique infinie

★ À maîtriser

• La somme des aires des triangles tend vers $\frac23$, car la somme partielle vaut $\frac23\left(1-\left(\frac14\right)^{n+1}\right)$ et $\left(\frac14\right)^{n+1}$ tend vers 0.

Compléments

• Pour afficher les termes d’une suite définie par récurrence jusqu’à un rang donné, on initialise le terme courant, on le met à jour à chaque itération, puis on l’affiche.

• Dans le carré de côté 1, les aires des triangles successifs forment une suite géométrique de premier terme $\frac12$ et de raison $\frac14$.